Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 163 стр.

          Подставляя в это равенство
      значение k, получим

                                  ,
          что и требовалось доказать.




         Теорему Лагранжа геометрически можно пояснить так. Рассмотрим график
      функции y=f(x), удовлетворяющий условиям теоремы и соединим концы графика

      на [a; b] хордой AB. Как мы уже отметили, отношение                     для хорды
      AB, а f'(c) есть угловой коэффициент касательной. Следовательно, теорема
      утверждает, что на графике функции y=f(x) найдется хотя бы одна точка, в которой
      касательная к графику параллельна хорде, соединяющей концы дуги.
          Теорема Коши. Если f(x) и g(x) – две функции, непрерывные на [a; b] и
      дифференцируемые внутри него, причем g'(x) ≠ 0 при всех x ∈ (a; b), то внутри

      отрезка [a; b] найдется хотя бы одна точка c ∈ (a; b), что                           .

           Доказательство.Определим число                              . Заметим, что g(b) – g(a) ≠
      0, т.к. в противном случае выполнялось бы равенство g(b)=g(a) и по теореме Ролля
      в некоторой точке d ∈ (a; b)g'(d) = 0. Это противоречит условию теоремы.
           Составим вспомогательную функцию.
           F(x) = f(x) – f(a) – k[g(x) – g(a)].
           Несложно заметить, что F(a)=F(b)=0. Функция F(x) удовлетворяет на [a;b]
      всем условиям теоремы Ролля. Следовательно, найдется число сÎ(a; b) такое, что
      F'(c) = 0. Но
           F'(x) = f'(x) – k·g(x), а значит F'(c) = f'(c) – k·g'(c) = 0,

          откуда            .

         Заметим, что теорему Коши нельзя                             доказать,
      применяя теорему Лагранжа к числителю и знаменателю дроби k. Объясните
      почему.

          ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ


    Ранее мы познакомились с примерами нахождения пределов отношения двух
бесконечно малых или бесконечно больших функций, то есть раскрытия
неопределенностей вида 0/0 и ∞/∞. Сейчас рассмотрим новое правило раскрытия этих
неопределенностей.