Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 157 стр.

    Итак, производная неявной функции выражается, как правило, не только через
аргумент, но и через функцию.

   ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ,
   ЗАДАННЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ

   Пусть даны два уравнения
                                   x=x(t),y=y(t), где t ∈
                                                [T1, T2]. 1)


    Каждому значению t из [T1, T2] соответствуют определенные значения x и y. Если
рассматривать значения x и y как координаты точки на плоскости xOy, то каждому
значению t будет соответствовать определенная точка плоскости. Когда t изменяется от T1
до T2, эта точка на плоскости описывает некоторую кривую. Уравнения (1) называются
параметрическими уравнениями этой кривой, t называется параметром, а способ задания
кривой уравнениями (1) называется параметрическим.
    Предположим, что функция x=x(t) имеет обратную t=t(x). Тогда, очевидно, у является
функцией от x: y=y[t(x)]. Следовательно, уравнения (1) определяют y как функцию от x, и
говорят, что функция y от x задается параметрически.
    При рассмотрении функций, заданных параметрически, исключение параметра не
всегда возможно. Во многих случаях удобнее задавать различные значения t и затем
вычислять соответствующие значения аргумента x и функции y.




   Пример. Пусть кривая задана параметрическими уравнениями:



   Построим эту кривую на плоскости, придавая различные значения параметру t и
находя соответствующие значения х и у.


    При t =0 M(R, 0).
    Таким образом, получаем окружность с центром в начале координат, радиуса R. Здесь
t обозначает угол, образованный радиусом, проведенным в некоторую точку окружности
М(x, y), и осью Ox.
    Если исключим из этих уравнений параметр t, то получим уравнение окружности,
содержащее только x и y. Возводя в квадрат параметрические уравнения и складывая их,
находим:
                             x2+ y2=R2(cos2t + sin2t) или x2+ y2=R2.