Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 152 стр.

     Рассмотрим функцию y=f(x) и соответствующую ей кривую. Возьмем на кривой
произвольную точку M(x; y), проведем касательную к кривой в этой точке и обозначим
через α угол, который касательная образует с положительным направлением оси Ox.
Дадим независимой переменной x
приращение Δx, тогда функция получит
приращение Δy = NM1. Значениям x+Δx и
y+Δy на кривой y = f(x) будет
соответствовать точка
                 M1(x+Δx; y+Δy).
     Из ΔMNT находим NT=MN·tg α. Т.к. tg
α = f '(x), а MN = Δx, то NT = f '(x)·Δx. Но
по определению дифференциала dy=f
'(x)·Δx, поэтому dy = NT.
     Таким образом, дифференциал
функции f(x), соответствующей данным
значениям x и Δx, равен приращению ординаты касательной к кривой y=f(x) в данной
точке х.

   ТЕОРЕМА ОБ ИНВАРИАНТНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛА
   Ранее мы видели, что если u является независимой переменной, то дифференциал
функции y=f '(u) имеет вид dy = f '(u)du.
   Покажем, что эта форма сохраняется и в том случае, когда u является не независимой
переменной, а функцией, т.е. найдем выражение для дифференциала сложной функции.
Пусть y=f(u), u=g(x) или y = f(g(x)). Тогда по правилу дифференцирования сложной
функции:
                                                       .
   Следовательно, по определению
                               , но g'(x)dx= du, поэтому dy= f'(u)du.
    Мы доказали следующую теорему.
    Теорема. Дифференциал сложной функции y=f(u), для которой u=g(x), имеет тот же
вид dy=f'(u)du, какой он имел бы, если бы промежуточный аргумент u был независимой
переменной.
    Иначе говоря, форма дифференциала не зависит от того, является аргумент функции
независимой переменной или функцией другого аргумента. Это свойство дифференциала
называется инвариантностью формы дифференциала.




   Пример.           . Найти dy.
   Учитывая свойство инвариантности дифференциала, находим

                                                                .

   ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ
   Пусть нам известно значение функции y0=f(x0) и ее производной y0' = f '(x0) в точке x0.
Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x.
   Как мы уже выяснили приращение функции Δyможно представить в виде суммы
Δy=dy+α·Δx, т.е. приращение функции отличается от дифференциала на величину