Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 17 стр.

   2. Вычислить определитель, используя его свойства. Прежде чем раскладывать
      определитель по элементам какой–либо строки, сводя к определителям третьего
      порядка, преобразуем его, используя свойство 7, сделав в какой–либо строке или
      столбце все элементы, кроме одного, равными нулю. В данном случае удобно
      рассмотреть 4-й столбец или 4-ю строку:




      ОБРАТНАЯ МАТРИЦА


      Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц.
      Если A – квадратная матрица, то обратной для неё матрицей называется матрица,
обозначаемая A-1 и удовлетворяющая условию                    . (Это определение
вводится по аналогии с умножением чисел)
      Справедлива следующая теорема:
      Теорема. Для того чтобы квадратная матрица A имела обратную, необходимо и
достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля.
      Доказательство:
   1. Необходимость. Пусть для матрицы A существует обратная матрица A-1. Покажем,
      что |A| ≠ 0.
      Прежде всего заметим, что можно доказать следующее свойство определителей
             .

      Предположим, что |A| = 0. Тогда                      . Но с другой стороны

             . Полученное противоречие и доказывает, что |A| ≠ 0.
   2. Достаточность. Для простоты доказательство проведём для случая матрицы



      третьего порядка. Пусть                   и |A| ≠ 0.
      Покажем, что в этом случае обратной матрицей будет матрица




                           , где Aij алгебраическое дополнение элемента aij.
      Найдём AB=C.
      Заметим, что все диагональные элементы матрицы C будут равны 1.
Действительно, например,