Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

Пример. Дан определитель . Найти A
13
, A
21
, A
32
.
Легко видеть, что используя алгебраические дополнения элементов, формулу (1)
можно записать в виде:
.
Аналогично этой формуле можно получить разложение определителя по элементам
любой строки или столбца.
Например, разложение определителя по элементам 2-ой строки можно получить
следующим образом. Согласно свойству 2 определителя имеем:
Разложим полученный определитель по элементам 1-ой строки.
.
2)
Отсюда
т.к. определители второго
порядка в формуле (2) есть миноры элементов
a
21
, a
22
, a
23
. Таким образом,
, т.е. мы получили разложение определителя по элементам 2-ой
строки.
Аналогично можно получить разложение определителя по элементам третьей
строки. Используя свойство 1 определителей (о транспонировании), можно показать, что
аналогичные разложения справедливы и при разложении по элементам столбцов.
Таким образом, справедлива следующая теорема.
Теорема (о разложении определителя по заданной строке или столбцу).
Определитель равен сумме произведений элементов какой–либо его строки (или столбца)
на их алгебраические дополнения.
Всё вышесказанное справедливо и для определителей любого более высокого
порядка.
Примеры.
1.
Вычислить определитель , раскладывая его по элементам 2-го столбца. 
      Пример. Дан определитель                 . Найти A13, A21, A32.



     Легко видеть, что используя алгебраические дополнения элементов, формулу (1)
можно записать в виде:
                                                                            .
      Аналогично этой формуле можно получить разложение определителя по элементам
любой строки или столбца.
      Например, разложение определителя по элементам 2-ой строки можно получить
следующим образом. Согласно свойству 2 определителя имеем:




      Разложим полученный определитель по элементам 1-ой строки.



                                                                        2)
                                          .




      Отсюда                                                   т.к. определители второго
порядка в формуле (2) есть миноры элементов a21, a22, a23. Таким образом,
                         , т.е. мы получили разложение определителя по элементам 2-ой
строки.
       Аналогично можно получить разложение определителя по элементам третьей
строки. Используя свойство 1 определителей (о транспонировании), можно показать, что
аналогичные разложения справедливы и при разложении по элементам столбцов.
       Таким образом, справедлива следующая теорема.
       Теорема (о разложении определителя по заданной строке или столбцу).
Определитель равен сумме произведений элементов какой–либо его строки (или столбца)
на их алгебраические дополнения.
       Всё вышесказанное справедливо и для определителей любого более высокого
порядка.
       Примеры.



   1. Вычислить определитель                  , раскладывая его по элементам 2-го столбца.

Страницы