Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

.
Докажем это равенство, используя предыдущие свойства определителя.
Эти свойства определителей довольно часто используются при вычислении
определителей и в различных задачах.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ И МИНОРЫ
Пусть имеем определитель третьего порядка: .
Минором, соответствующим данному элементу a
ij
определителя третьего порядка,
называется определитель второго порядка, полученный из данного вычёркиванием строки
и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент, т.е.
i-ой строки и j-го столбца.
Миноры соответствующие данному элементу
a
ij
будем обозначать M
ij
.
Например, минором M
12
, соответствующим элементу a
12
, будет определитель
, который получается вычёркиванием из данного определителя 1-ой
строки и 2-го столбца.
Таким образом, формула, определяющая определитель третьего порядка,
показывает, что этот определитель равен сумме произведений элементов 1-ой строки на
соответствующие им миноры; при этом минор, соответствующий элементу
a
12
, берётся со
знаком “–”, т.е. можно записать, что
.
1)
Аналогично можно ввести определения миноров для определителей второго
порядка и высших порядков.
Введём ещё одно понятие.
Алгебраическим дополнением элемента a
ij
определителя называется его минор M
ij
,
умноженный на (–1)
i+j
.
Алгебраическое дополнение элемента
a
ij
обозначается A
ij
.
Из определения получаем, что связь между алгебраическим дополнением элемента
и его минором выражается равенством
A
ij
= (–1)
i+j
M
ij
.
Например, 
                                                             .
      Докажем это равенство, используя предыдущие свойства определителя.




      Эти свойства определителей довольно часто используются при вычислении
определителей и в различных задачах.


      АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ И МИНОРЫ




       Пусть имеем определитель третьего порядка:                     .
       Минором, соответствующим данному элементу aij определителя третьего порядка,
называется определитель второго порядка, полученный из данного вычёркиванием строки
и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент, т.е. i-ой строки и j-го столбца.
Миноры соответствующие данному элементу aij будем обозначать Mij.
       Например, минором M12, соответствующим элементу a12, будет определитель


                 , который получается вычёркиванием из данного определителя 1-ой
строки и 2-го столбца.
      Таким образом, формула, определяющая определитель третьего порядка,
показывает, что этот определитель равен сумме произведений элементов 1-ой строки на
соответствующие им миноры; при этом минор, соответствующий элементу a12, берётся со
знаком “–”, т.е. можно записать, что

                                         .              1)
       Аналогично можно ввести определения миноров для определителей второго
порядка и высших порядков.
       Введём ещё одно понятие.
       Алгебраическим дополнением элемента aij определителя называется его минор Mij,
умноженный на (–1)i+j.
       Алгебраическое дополнение элемента aij обозначается Aij.
       Из определения получаем, что связь между алгебраическим дополнением элемента
и его минором выражается равенством Aij = (–1)i+jMij.

      Например,

Страницы