Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 174 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

Но точка x=0 не является точкой экстремума,
поскольку слева от этой точки значения функции
расположены ниже оси
Ox, а справа выше.
Значения аргумента из области определения
функции, при которых производная функции
обращается в нуль или не существует, называются
критическими точками.
Из всего вышесказанного следует, что точки экстремума функции находятся среди
критических точек, и, однако, не всякая критическая точка является точкой экстремума.
Поэтому, чтобы найти экстремум функции, нужно найти все критические точки функции,
а затем каждую из этих точек исследовать отдельно на максимум и минимум. Для этого
служит следующая теорема.
Теорема 2. (Достаточное условие существования экстремума.) Пусть функция
непрерывна на некотором интервале, содержащем критическую точку
x
0
, и
дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки
x
0
).
Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на
минус, то в точке
x = x
0
функция имеет максимум. Если же при переходе через x
0
слева
направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке
минимум.
Таким образом, если
a.
f '(x)>0 при x<x
0
и f '(x)<0 при x> x
0
, то x
0
– точка максимума;
b.
при x<x
0
и f '(x)>0 при x> x
0
, то x
0
– точка минимума.
Доказательство
. Предположим сначала, что при переходе через x
0
производная меняет
знак с плюса на минус, т.е. при всех
x, близких к точке x
0
f '(x)>0 для x< x
0
, f '(x)<0 для x>
x
0
. Применим теорему Лагранжа к разности f(x) - f(x
0
) = f '(c)(x- x
0
), где c лежит между x и
x
0
.
1.
Пусть x < x
0
. Тогда c< x
0
и f '(c)>0. Поэтомуf '(c)(x- x
0
)<0и, следовательно,
f(x) - f(x
0
)<0,т.е. f(x)< f(x
0
).
2.
Пусть x > x
0
. Тогда c> x
0
и f '(c)<0. Значитf '(c)(x- x
0
)<0. Поэтому f(x) -
f(x
0
)<0,т.е.f(x) < f(x
0
).
Таким образом, для всех значений
x достаточно близких к x
0
f(x) < f(x
0
). А это значит,
что в точке
x
0
функция имеет максимум.
Аналогично доказывается вторая часть теоремы о минимуме. 
            Но точка x=0 не является точкой экстремума,
        поскольку слева от этой точки значения функции
        расположены ниже оси Ox, а справа выше.
            Значения аргумента из области определения
        функции, при которых производная функции
        обращается в нуль или не существует, называются
        критическими точками.


    Из всего вышесказанного следует, что точки экстремума функции находятся среди
критических точек, и, однако, не всякая критическая точка является точкой экстремума.
Поэтому, чтобы найти экстремум функции, нужно найти все критические точки функции,
а затем каждую из этих точек исследовать отдельно на максимум и минимум. Для этого
служит следующая теорема.


   Теорема 2. (Достаточное условие существования экстремума.) Пусть функция
непрерывна на некотором интервале, содержащем критическую точку x0, и
дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки x0).
Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на
минус, то в точке x = x0 функция имеет максимум. Если же при переходе через x0 слева
направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке
минимум.
   Таким образом, если

   a. f '(x)>0 при x x0, то x0 – точка максимума;
   b.            при x0 при x> x0, то x0 – точка минимума.

     Доказательство. Предположим сначала, что при переходе через x0 производная меняет
знак с плюса на минус, т.е. при всех x, близких к точке x0 f '(x)>0 для x< x0, f '(x)<0 для x>
x0. Применим теорему Лагранжа к разности f(x) - f(x0) = f '(c)(x- x0), где c лежит между x и
x0 .

   1. Пусть x < x0. Тогда c< x0 и f '(c)>0. Поэтомуf '(c)(x- x0)<0и, следовательно,

           f(x) - f(x0)<0,т.е. f(x)< f(x0).

   2. Пусть x > x0. Тогда c> x0 и f '(c)<0. Значитf '(c)(x- x0)<0. Поэтому f(x) -
      f(x0)<0,т.е.f(x) < f(x0).

    Таким образом, для всех значений x достаточно близких к x0 f(x) < f(x0). А это значит,
что в точке x0 функция имеет максимум.




    Аналогично доказывается вторая часть теоремы о минимуме.

Страницы