Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 172 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

возрастает на отрезке [–1; 1].
5.
.
Используя метод интервалов, получим
f(x)
убывает на (0; 1) и (1; e], возрастает на [e; +∞).
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ
Рассмотрим график непрерывной функции
y=f(x),
изображенной на рисунке. Значение функции в точке
x
1
будет больше значений функции во всех соседних точках
как слева, так и справа от
x
1
. В этом случае говорят, что
функция имеет в точке
x
1
максимум. В точке x
3
функция,
очевидно, также имеет максимум. Если рассмотреть
точку
x
2
, то в ней значение функции меньше всех
соседних значений. В этом случае говорят, что функция
имеет в точке
x
2
минимум. Аналогично для точки x
4
.
Функция
y=f(x) в точке x
0
имеет максимум, если значение функции в этой точке
больше, чем ее значения во всех точках некоторого интервала, содержащего точку
x
0
, т.е.
если существует такая окрестность точки
x
0
, что для всех x≠x
0
, принадлежащих этой
окрестности, имеет место неравенство
f(x)<f(x
0
).
Функция
y=f(x) имеет минимум в точке x
0
, если существует такая окрестность точки
x
0
, что для всех x≠x
0
, принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x)>f(x
0
.
Точки, в которых функция достигает максимума и минимума, называются точками
экстремума, а значения функции в этих точках экстремумами функции.
Обратим внимание на то, что функция, определенная на отрезке, может достигать
максимума и минимума только в точках, заключенных внутри рассматриваемого отрезка.
Отмети, что если функция имеет в точке максимум, то это
не означает, что в этой
точке функция имеет наибольшее значение во всей области определения. На рисунке,
рассмотренном выше, функция в точке
x
1
имеет максимум, хотя есть точки, в которых
значения функции больше, чем в точке
x
1
. В частности, f(x
1
) < f(x
4
) т.е. минимум функции
больше максимума. Из определения максимума следует только, что это самое большое
значение функции в точках, достаточно близкихк точке максимума.
Теорема 1. (Необходимое условие существования экстремума.) Если
дифференцируемая функция
y=f(x) имеет в точке x= x
0
экстремум, то ее производная в
этой точке обращается в нуль.
Доказательство
. Пусть для определенности в точке x
0
функция имеет максимум. Тогда
при достаточно малых приращениях Δ
x имеем f(x
0
+ Δx)<f(x
0
), т.е.
Но тогда 
     возрастает на отрезке [–1; 1].

5.




                                         .
        Используя метод интервалов, получим f(x)
     убывает на (0; 1) и (1; e], возрастает на [e; +∞).




                       ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ

      Рассмотрим график непрерывной функции y=f(x),
 изображенной на рисунке. Значение функции в точке x1
 будет больше значений функции во всех соседних точках
 как слева, так и справа от x1. В этом случае говорят, что
 функция имеет в точке x1 максимум. В точке x3 функция,
 очевидно, также имеет максимум. Если рассмотреть
 точку x2, то в ней значение функции меньше всех
 соседних значений. В этом случае говорят, что функция
 имеет в точке x2 минимум. Аналогично для точки x4.
      Функция y=f(x) в точке x0 имеет максимум, если значение функции в этой точке
 больше, чем ее значения во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x0, т.е.
 если существует такая окрестность точки x0, что для всех x≠x0, принадлежащих этой
 окрестности, имеет место неравенство f(x)f(x0.
      Точки, в которых функция достигает максимума и минимума, называются точками
 экстремума, а значения функции в этих точках экстремумами функции.
      Обратим внимание на то, что функция, определенная на отрезке, может достигать
 максимума и минимума только в точках, заключенных внутри рассматриваемого отрезка.
      Отмети, что если функция имеет в точке максимум, то это не означает, что в этой
 точке функция имеет наибольшее значение во всей области определения. На рисунке,
 рассмотренном выше, функция в точке x1 имеет максимум, хотя есть точки, в которых
 значения функции больше, чем в точке x1. В частности, f(x1) < f(x4) т.е. минимум функции
 больше максимума. Из определения максимума следует только, что это самое большое
 значение функции в точках, достаточно близкихк точке максимума.

     Теорема 1. (Необходимое условие существования экстремума.) Если
 дифференцируемая функция y=f(x) имеет в точке x= x0 экстремум, то ее производная в
 этой точке обращается в нуль.
     Доказательство. Пусть для определенности в точке x0 функция имеет максимум. Тогда
 при достаточно малых приращениях Δx имеем f(x0+ Δx)

Страницы