Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 171 стр.

                2. Докажем вторую часть теоремы. Пусть f '(x)>0при всех x ∈ (a,b).
                   Рассмотрим два любых значения x1 и x2 таких, что x1 < x2. Нужно доказать,
                   что f(x1)< f(x2). По теореме Лагранжа существует такое число c ∈ (x1, x2), что
                                                   . По условию f '(x)>0, x1 – x2>0⇒
                                      , а это и значит, что f(x) – возрастающая функция.

                 Аналогичная теорема имеет место и для убывающих функций.
    Теорема 2. Если f(x) убывает на[a,b], то
на этом отрезке. Если           на (a; b), то f(x) убывает
на [a, b],в предположении, чтоf(x) непрерывна на [a, b].
    Доказанная теорема выражает очевидный
геометрический факт. Если на [a, b] функция
возрастает, то касательная к кривой y=f(x) в каждой
точке этого отрезке образует острый

угол с осью Ox или горизонтальна, т.е. tga≥0, а значит f
'(x)≥0.
     Аналогично иллюстрируется и вторая часть
теоремы.
     Таким образом, возрастание и убывание функции
характеризуется знаком ее производной. Чтобы найти
на каком промежутке функция возрастает или убывает,
нужно определить, где производная этой функции
только положительна или только отрицательна, то есть
решить неравенства f '(x)>0 – для возрастания или f
'(x)<0 – для убывания.
     Примеры. Определить интервалы монотонности
функции.



   3.                  . Область определения
        заданной функции D(y) = (-∞; 0)∪(0; +∞).




        . Следовательно, f(x) – убывает на (-∞; 0) и (0;
        +∞).

   4.




           Найдем промежутки, на которых
        производная заданной функции положительна
        или отрицательна методом интервалов.
           Итак, f(x) – убывает на (–∞; –1] и [1; +∞),