Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 170 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

Вспомним сначала определения возрастающей и убывающей функций.
Функция
y=f(x), определенная на некотором отрезке [a, b] (интервале (a, b)),
называется
возрастающей на этом отрезке, если большему значению аргумента x из [a, b]
соответствует большее значение функции, то есть если
x
1
< x
2
, то f(x
1
) < f(x
2
).
Функция
y=f(x) называется убывающей на некотором отрезке [a, b], если меньшему
значению аргумента
x из [a, b]соответствует большее значение функции, то есть если x
1
<
x
2
, то f(x
1
) > f(x
2
).
Функция, только возрастающая или только убывающая на отрезке, называется
монотонной на этом отрезке.
Функция
y=f(x) называется постоянной на некотором отрезке [a, b], если при
изменении аргумента
x она принимает одни и те же значения.
Рассмотрим график функции изображенной на рисунке и определим промежутки
возрастания и убывания функции.
(-∞,
a), (c, +∞) – убывает;
(
a, b) – постоянная;
(
b, c) – возрастает.
Применим понятие производной для исследования возрастания и убывания функции.
Теорема 1. (Необходимое и достаточное условия возрастания функции)
1.
Если дифференцируемая функция y=f(x) возрастает на [a, b], то ее производная
неотрицательна на этом отрезке,
f '(x)≥ 0.
2.
Обратно. Если функция y=f(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b) и ее
производная положительна на этом отрезке,
f ' (x)≥ 0 для a<x<b, то f(x) возрастает
на[
a, b].
Доказательство
.
1.
Докажем первую часть теоремы. Итак, пусть функция y=f(x) возрастает на
[
a, b]. Зафиксируем на этом отрезке произвольную точку x, придадим ей
приращение Δ
x. Тогда если Δx>0, то x<x+Δx. Поэтому по определению
возрастающей функции
f(x)<f(x+Δx), то есть f(x+Δx) - f(x)>0. Но тогда и
Аналогично, если Δx<0, то x>x+Δx и значит f(x+Δx)-
f(x)<
0, а
Переходя в этом равенстве к пределу при Δ
x→0, получим
, то есть f '(x)≥0. 
   Вспомним сначала определения возрастающей и убывающей функций.




     Функция y=f(x), определенная на некотором отрезке [a, b] (интервале (a, b)),
называется возрастающей на этом отрезке, если большему значению аргумента x из [a, b]
соответствует большее значение функции, то есть если x1 < x2, то f(x1) < f(x2).
     Функцияy=f(x) называется убывающей на некотором отрезке [a, b], если меньшему
значению аргумента x из [a, b]соответствует большее значение функции, то есть если x1 <
x2, то f(x1) > f(x2).
     Функция, только возрастающая или только убывающая на отрезке, называется
монотонной на этом отрезке.


    Функция y=f(x) называется постоянной на некотором отрезке [a, b], если при
изменении аргумента x она принимает одни и те же значения.
    Рассмотрим график функции изображенной на рисунке и определим промежутки
возрастания и убывания функции.
    (-∞, a), (c, +∞) – убывает;
    (a, b) – постоянная;
    (b, c) – возрастает.
    Применим понятие производной для исследования возрастания и убывания функции.

   Теорема 1. (Необходимое и достаточное условия возрастания функции)

   1. Если дифференцируемая функция y=f(x) возрастает на [a, b], то ее производная
      неотрицательна на этом отрезке, f '(x)≥ 0.
   2. Обратно. Если функция y=f(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b) и ее
      производная положительна на этом отрезке,f ' (x)≥ 0 для a0, то x0. Но тогда и

                                 Аналогично, если Δx<0, то x>x+Δx и значит f(x+Δx)-

             f(x)<0, а

                 Переходя в этом равенстве к пределу при Δx→0, получим

                                     , то есть f '(x)≥0.

Страницы