Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 173 стр.

    Переходя в этих неравенствах к пределу при Δx→ 0 и учитывая, что производная f '(x0)
существует, а следовательно предел, стоящий слева, не зависит от того как Δx → 0,
получаем: при Δx → 0 – 0 f'(x0) ≥ 0 а при Δx → 0 + 0 f'(x0) ≤ 0. Так как f '(x0) определяет
число, то эти два неравенства совместны только в том случае, когда f '(x0) = 0.
    Доказанная теорема утверждает, что точки максимума и
минимума могут находиться только среди тех значений
аргумента, при которых производная обращается в нуль.
    Мы рассмотрели случай, когда функция во всех точках
некоторого отрезка имеет производную. Как же обстоит дело в
тех случаях, когда производная не существует? Рассмотрим
примеры.


   Примеры.

   1. y=|x|.

            Функция не имеет производной в точке x=0 (в этой
        точке график функции не имеет определенной
        касательной), но в этой точке функция имеет минимум,
        так как y(0)=0, а при всех x≠ 0y > 0.

   2.


           Функция              не имеет производной при


        x=0, так как           обращается в бесконечность
        приx=0. Но в этой точке функция имеет максимум.

   3.

           Функция          не имеет производной при x=0, так


        как                при x→0. В этой точке функция не
        имеет ни максимума, ни минимума. Действительно,
        f(x)=0 и при x<0f(x)<0, а при x>0f(x)>0.
             Таким образом, из приведенных примеров и
        сформулированной теоремы видно, что функция может
        иметь экстремум лишь в двух случаях: 1) в точках, где
        производная существует и равна нулю; 2) в точке, где
        производная не существует.
             Однако, если в некоторой точке x0 мы знаем, что f
        '(x0)=0, то отсюда нельзя делать вывод, что в точке x0
        функция имеет экстремум.

           Например.                                     .