Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 175 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

Проиллюстрируем смысл этой теоремы на рисунке. Пусть f '(x
1
)=0 и для любых x,
достаточно близких к x
1
, выполняются неравенства
f '(x)<0 при x< x
1
, f '(x)>0 при x> x
1
.
Тогда слева от точки
x
1
функция возрастает, а справа убывает, следовательно, при x =
x
1
функция переходит от возрастания к убыванию, то есть имеет максимум.
Аналогично можно рассматривать точки
x
2
и x
3
.
Схематически все вышесказанное можно изобразить на картинке:
Правило исследования функции y=f(x) на экстремум
1.
Найти область определения функции f(x).
2.
Найти первую производную функции f '(x).
3.
Определить критические точки, для этого:
a.
найти действительные корни уравнения f '(x)=0;
b.
найти все значения x при которых производная f '(x) не существует.
4.
Определить знак производной слева и справа от критической точки. Так как знак
производной остается постоянным между двумя критическими точками, то
достаточно определить знак производной в какой-либо одной точке слева и в одной
точке справа от критической точки.
5.
Вычислить значение функции в точках экстремума.
Примеры. Исследовать функции на минимум и максимум.
1.
. Область определения функции D(y)=R.
Найдем производную заданной функции
Определим критические точки
. Производная не существует
при
х
2
= 0. Следовательно, критические точки: 0 и 2/5. Нанесем их на числовую ось
и определим знак производной на каждом из полученных промежутков. 
    Проиллюстрируем смысл этой теоремы на рисунке. Пусть f '(x1)=0 и для любых x,
достаточно близких к x1, выполняются неравенства
                             f '(x)<0 при x< x1, f '(x)>0 при x> x1.
    Тогда слева от точки x1 функция возрастает, а справа убывает, следовательно, при x =
x1 функция переходит от возрастания к убыванию, то есть имеет максимум.
    Аналогично можно рассматривать точки x2 и x3.




Схематически все вышесказанное можно изобразить на картинке:
   Правило исследования функции y=f(x) на экстремум

   1. Найти область определения функции f(x).
   2. Найти первую производную функции f '(x).
   3. Определить критические точки, для этого:
         a. найти действительные корни уравнения f '(x)=0;
         b. найти все значения x при которых производная f '(x) не существует.




   4. Определить знак производной слева и справа от критической точки. Так как знак
      производной остается постоянным между двумя критическими точками, то
      достаточно определить знак производной в какой-либо одной точке слева и в одной
      точке справа от критической точки.
   5. Вычислить значение функции в точках экстремума.

   Примеры. Исследовать функции на минимум и максимум.


   1.                 . Область определения функции D(y)=R.



           Найдем производную заданной функции


            Определим критические точки                       . Производная не существует
        при х2= 0. Следовательно, критические точки: 0 и 2/5. Нанесем их на числовую ось
        и определим знак производной на каждом из полученных промежутков.

Страницы