Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 183 стр.

    Если обозначим через d расстояние от точки M кривой до асимптоты, то ясно, что d
стремится к нулю при удалении точки M в бесконечность.
    Будем в дальнейшем различать асимптоты вертикальные и наклонные.

   ВЕРТИКАЛЬНЫЕ АСИМПТОТЫ
   Пусть при x→ x0 с какой-либо стороны функция y = f(x)неограниченно возрастает по

абсолютной величине, т.е.            или                или                  . Тогда из
определения асимптоты следует, что прямая x = x0 является
асимптотой. Очевидно и обратное, если прямая x = x0 является

асимптотой, т. о.             .
    Таким образом, вертикальной асимптотой графика функции y
= f(x) называется прямая, если f(x) → ∞ хотя бы при одном из
условий x→ x0 – 0 или x → x0 + 0, x = x0
    Следовательно, для отыскания вертикальных асимптот
графика функции y = f(x) нужно найти те значения x = x0, при
которых функция обращается в бесконечность (терпит
бесконечный разрыв). Тогда вертикальная асимптота имеет уравнение x = x0.
    Примеры.


   1. Найти вертикальные асимптоты графика функции                     .



            Так как                                            , то прямая x = 2 является
        вертикальной асимптотой.



   2.                                                  .

           Прямая x = 0 – вертикальная асимптота.

             НАКЛОННЫЕ АСИМПТОТЫ
     Поскольку асимптота – это прямая, то если кривая y =
f(x) имеет наклонную асимптоту, то ее уравнение будет y =
kx + b. Наша задача найти коэффициенты k и b.

   Теорема. Прямая y = kx + b служит наклонной
асимптотой при x → +∞ для графика функции y = f(x) тогда


и только тогда, когда                               .
Аналогичное утверждение верно и при x → –∞.
    Доказательство. Пусть MP – длина отрезка, равного расстоянию от точки M до

асимптоты. По условию              . Обозначим через φ угол наклона асимптоты к оси


Ox. Тогда из ΔMNP следует, что             . Так как φ постоянный угол (φ ≠ π/2), то

            , но