Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 181 стр.

   3. y = x3. Так как y'' = 6x, то y'' < 0 при x < 0 и y'' > 0 при x > 0. Следовательно, при x < 0
      кривая выпукла, а при x > 0 вогнута.

      Точка графика непрерывной функции,
отделяющая его выпуклую часть от вогнутой,
называется точкой перегиба.
      Очевидно, что в точке перегиба
касательная, если она существует, пересекает
кривую, т.к. с одной стороны от этой точки
кривая лежит под касательной, а с другой
стороны – над нею.
      Определим достаточные условия того, что
данная точка кривой является точкой перегиба.
      Теорема. Пусть кривая определяется
уравнением y = f(x). Если f ''(x0) = 0 или f ''(x0) не
существует и при переходе через значение x =
x0 производная f ''(x) меняет знак, то точка
графика функции с абсциссой x = x0 есть точка
перегиба.
      Доказательство. Пусть f ''(x) < 0 при x < x0 и
f ''(x) > 0 при x > x0. Тогда при x < x0 кривая
выпукла, а при x > x0 – вогнута. Следовательно,
точка A, лежащая на кривой, с абсциссой x0 есть
точка перегиба. Аналогично можно
рассматривать второй случай, когда f ''(x) > 0
при x < x0 и f ''(x) < 0 при x > x0.
      Таким образом, точки перегиба следует
искать только среди таких точек, где вторая
производная обращается в нуль или не
существует.
      Примеры. Найти точки перегиба и
определить интервалы выпуклости и
вогнутости кривых.


   1.

           Найдем производные заданной
        функции до второго порядка.
                                          .


                            . Вторая
        производная не существует при x = 1.
        Исследуем эту точку на возможный
        перегиб.
           Итак, точка перегиба x = 1. Функция
        выпукла на (1; +∞), вогнута на (–∞; 1).