Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 180 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

уравнение . Мы должны
показать, что график функции на
(a; b) лежит
ниже этой касательной, т.е. при одном и том же
значении
x ордината кривой y = f(x) будет меньше
ордината касательной.
Итак, уравнение кривой имеет вид
y = f(x). Обозначим ординату касательной,
соответствующую абсциссе x. Тогда . Следовательно, разность
ординат кривой и касательной при одном и том же значении
x будет
.
Разность f(x) – f(x
0
) преобразуем по теореме Лагранжа , где
c между x и x
0
.
Таким образом,
.
К выражению, стоящему в квадратных скобках снова применим теорему Лагранжа:
, где c
1
между c
0
и x
0
. По условию теоремы f ''(x) < 0.
Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.
1.
Предположим, что x>x
0
. Тогда x
0
<c
1
<c<x, следовательно, (x – x
0
) > 0 и (c – x
0
) > 0.
Поэтому
.
2.
Пусть x<x
0
, следовательно, x < c < c
1
< x
0
и (x – x
0
) < 0, (c – x
0
) < 0. Поэтому вновь
.
Таким образом, любая точка кривой лежит ниже касательной к кривой при всех
значениях
x и x
0
∈ (a; b), а это значит, что кривая выпукла. Вторая часть теоремы
доказывается аналогично.
Примеры.
1.
Установить интервалы выпуклости и вогнутости кривой y = 2 – x
2
.
Найдем
y '' и определим, где вторая производная положительна и где
отрицательна.
y' = –2x, y'' = –2 < 0 на (–∞; +∞), следовательно, функция всюду
выпукла.
2.
y = e
x
. Так как y'' = e
x
> 0 при любых x, то кривая всюду вогнута. 
уравнение                          . Мы должны
показать, что график функции на (a; b) лежит
ниже этой касательной, т.е. при одном и том же
значении x ордината кривой y = f(x) будет меньше
ордината касательной.


   Итак, уравнение кривой имеет вид y = f(x). Обозначим        ординату касательной,
соответствующую абсциссе x. Тогда                         . Следовательно, разность
ординат кривой и касательной при одном и том же значении x будет
                                    .
    Разность f(x) – f(x0) преобразуем по теореме Лагранжа                               , где
c между x и x0.
    Таким образом,
                                                                    .
   К выражению, стоящему в квадратных скобках снова применим теорему Лагранжа:
                         , где c1 между c0 и x0. По условию теоремы f ''(x) < 0.
Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

   1. Предположим, что x>x0. Тогда x0 0 и (c – x0) > 0.
      Поэтому           .
   2. Пусть x 0 при любых x, то кривая всюду вогнута.

Страницы