Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 179 стр.

        ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ. ТОЧКИ
                         ПЕРЕГИБА



    График функции y=f(x) называется выпуклым
на интервале (a; b), если он расположен ниже
любой своей касательной на этом интервале.
    График функции y=f(x) называется вогнутым
на интервале (a; b), если он расположен выше
любой своей касательной на этом интервале.
    На рисунке показана кривая, выпуклая на (a;
b) и вогнутая на (b; c).
    Примеры.


   1. Полуокружность               выпукла на [–
      1; 1].
   2. Парабола y = x2 вогнута на интервале (-∞;
      +∞).
   3. График функции в одних интервалах
      может быть выпуклым, а в других
      вогнутым. Так график функции y = sin x на
      [0,2; π], выпуклый в интервале (0; π) и
      вогнутый в (π; 2π).

      Рассмотрим достаточный признак,
позволяющий установить, будет ли график
функции в данном интервале выпуклым или
вогнутым.
      Теорема. Пусть y=f(x) дифференцируема на
(a; b). Если во всех точках интервала (a; b) вторая
производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f
''(x) < 0, то график функции на этом интервале
выпуклый, если же f''(x) > 0 – вогнутый.

   Доказательство. Предположим для
определенности, что f''(x) < 0 и докажем, что
график функции будет выпуклым.
   Возьмем на графике функции y = f(x)
произвольную точку M0 с абсциссой x0 ∈ (a; b) и
проведем черезточку M0 касательную. Ее