Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 3 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

2. Сложение и умножение комплексных чисел
Сложим два комплексных числа z
1
и z
2
. Поскольку каждому из них соответствует
вектор, соединяющий соответствующую точку с началом координат, то для этого
достаточно сложить 2 вектора ОМ
1
и ОМ
2
. Делается это по известному из школы
правилу параллелограмма: в точке М
1
строится треугольник М
1
МК, равный
треугольнику ОМ
2
А. ОМ- искомый вектор, равный сумме векторов ОМ
1
и ОМ
2
.
Из построения следует : х=х
1
+ х
2
, у=у
1
+ у
2
.(*)
Таким образом,
чтобы сложить два комплексных числа, следует сложить по
отдельности их действительные и мнимые части.
Для умножения двух комплексных чисел следует воспользоваться
пропорциональностью сторон подобных треугольников. Если на отрезке ОМ
2
построить
углы
1
ϕ
и
β
, прилежащие стороне О1 треугольника О1М
1
, то стороны этих углов
пересекаются в искомой точке М.
В самом деле,
1
1МОΔ
подобен
2
ОММ
Δ
(по трём углам), следовательно,
1
ОМ
ОМ
=
1
2
О
ОМ
или
1
ρ
ρ
=
1
2
ρ
, откуда
21
ρρρ
= . Обращаясь к чертежу , замечаем,
что углы связаны соотношением:
12
ϕ
ϕ
ϕ
+
=
. Таким образом, чтобы перемножить 2
комплексных числа, нужно перемножить их модули и сложить аргументы.
Но тогда 
      2. Сложение и умножение комплексных чисел


      Сложим два комплексных числа z 1 и z 2 . Поскольку каждому из них соответствует
вектор, соединяющий соответствующую точку с началом координат, то для этого
достаточно сложить 2 вектора ОМ 1 и ОМ 2 . Делается это по известному из школы
правилу параллелограмма: в точке М 1 строится треугольник М 1 МК, равный
треугольнику ОМ 2 А. ОМ- искомый вектор, равный сумме векторов ОМ 1 и ОМ 2 .




      Из построения следует :   х=х 1 + х 2 , у=у 1 + у 2 .(*)
      Таким образом, чтобы сложить два комплексных числа, следует сложить по
отдельности их действительные и мнимые части.
      Для умножения двух комплексных чисел следует воспользоваться
пропорциональностью сторон подобных треугольников. Если на отрезке ОМ 2 построить
      углы ϕ1 и β , прилежащие стороне О1 треугольника О1М 1 , то стороны этих углов
пересекаются в искомой точке М.




       В самом деле, ΔО1М 1 подобен ΔОММ 2 (по трём углам), следовательно,
        ОМ ОМ 2            ρ   ρ
            =        или      = 2 , откуда ρ = ρ1 ρ 2 . Обращаясь к чертежу , замечаем,
       ОМ 1     О1         ρ1   1
что углы связаны соотношением:      ϕ = ϕ 2 + ϕ1 . Таким образом, чтобы перемножить 2
комплексных числа, нужно перемножить их модули и сложить аргументы.
       Но тогда

Страницы