Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 4 стр.

                                        х = ρ cos ϕ = ρ1 ρ 2 cos(ϕ1 + ϕ 2 ) =
   = ρ1 ρ 2 ( cos ϕ1 cos ϕ 2 − sin ϕ1 sin ϕ 2 )= ρ1 cos ϕ1 ρ 2 cos ϕ 2 − ρ1 sin ϕ1 ρ 2 sin ϕ 2 = x1 x 2 − y1 y 2.
                                         у = ρ sin ϕ = ρ1 ρ 2 sin(ϕ1 + ϕ 2 ) =
                                                             =
    ρ1 ρ 2 (sin ϕ1 cos ϕ 2 + cos ϕ1 sin ϕ 2 ) = ρ1 sin ϕ1 ρ 2 cos ϕ 2 + ρ1 cos ϕ1 ρ 2 sin ϕ 2 = y1 x 2 + x1 y 2 .
                           Итак, (х 1 ,у 1 ) (х 2 ,у 2 )= ( х1 х 2 − у1 у 2 , у 1 х 2 +у 2 х 1 ).(**)
       Упражнения
       Пользуясь формулами (*) и (**), найти сумму и произведение следующих
комплексных
       чисел (2,3) и (3,-2); (-4,3) и (-5,-6).


        3. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи
комплексных чисел


                                                                                              π
        Изобразим мнимую единицу: j= (0,1). Очевидно mod j=1, arg j =                             .
                                                                                              2
     Пользуясь правилом умножения комплексных чисел, вычислим          j 2 = jj.
     Для этого перемножим модули и сложим аргументы: mod j 2 =1, arg j 2 = π .
Получилось число (-1,0)= -1.
     Запомним: j 2 = -1, следовательно, j = − 1 .




      Это обстоятельство позволяет записывать комплексные числа в алгебраической
форме в виде двучлена (х,у)= х+jу.Учитывая значение j, комплексные числа можно
складывать и умножать по обычным алгебраическим законам.
        При этом формулы (*) и (**) будут выполняться автоматически.
        Так как х= ρ cos ϕ  и у= ρ sin ϕ , от алгебраической формы легко перейти к
тригонометрической: х+jу= ρ (cos ϕ + j sin ϕ ) .
      Таким образом, чтобы складывать и перемножать комплексные числа, достаточно
записать их в алгебраической форме и работать с ними, как с обычными двучленами.
Например,
                           (2,-1)+(-3,4)=(2-j)+(-3+4j)=(2-3)+j(-1+4)=-1+3j;
                        (3, -2 ) (-7,-5)=(3-2j)(-7-5j)=-21+14j-15j+10j 2 = -31-j.
      Вычитание производится так же, как и сложение: (2+j)-(3-4j)=-1+5j.
      Для того, чтобы разделить одно комплексное число на другое, т.е. вычислить
                 a + jb
значение дроби          , нужно освободиться от j в знаменателе. Для этого достаточно
                 c + jd
умножить знаменатель и одновременно (чтобы дробь не изменилась) числитель на число