Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 5 стр.

     c-jd. Такие комплексные числа, у которых действительные части одинаковы, а
мнимые части отличаются знаками, называются сопряженными. Если одно из
                                                                          −
сопряженных чисел обозначено z, то другое обозначается z .
      Итак, умножив и числитель и заменатель дроби на число, сопряжённое
знаменателю, получим ответ:
                   (a + jb)(c − jd )        ac + jbc − jad + bd ac + bd + j (bc − ad )
                                      =                           =                        .
                   (c + jd )(c − jd )             c2 + d 2                   c2 + d 2
      Пример.
                                 (4 − 5 j )(−3 − 2 j )   − 12 + 15 j − 8 j + 10 j 2 − 22 + 7 j
              (4-5j):(-3+2j)=                          =                           =           .
                                (−3 + 2 j )(−3 − 2 j )           9 − 4 j2              13
      Упражнения
   1. Пусть z 1 = 1+j 3 , z 2 =-2+2j. Изобразить сопряжённые им числа. Сравнить модули
      и аргументы взаимно сопряжённых комплексных чисел.
                                                1 1− 2 j      3− 2j
   2. Выполнить указанные действия:               ,         ,          .
                                                j 1+ j        −4+3j


        4.Возведение в натуральную степень


       Возвести число z в n-ую степень значит умножить его само на себя n раз.Поскольку
при этом модули сомножителей перемножаются, а аргументы складываются, то
                                z n = [ ρ (cos ϕ + j sin ϕ )]n = ρ n (cos nϕ + j sin nϕ ) .
       При ρ = 1 эта формула принимает вид:
                                          (cos ϕ + j sin ϕ ) n = cos nϕ + j sin nϕ
       Она называется формулой Муавра по имени английского ученого (француза по
происхождению) Abracham’а de Moivre’а (1667 – 1754).
       Формула Муавра позволяет выражать синусы и косинусы кратных дуг через cos ϕ
и sin ϕ .
       Пример. При n=3 имеем: (cos ϕ + j sin ϕ ) 3 = cos3 ϕ + j sin 3ϕ
       C другой стороны, возводя двучлен в куб, получим:
                 (cos ϕ + j sin ϕ ) 3 = cos 3 ϕ + 3 cos 2 ϕ jsin ϕ + 3 cos ϕ (jsin ϕ ) 2 + ( j sin ϕ ) 3 =
                                =cos 3 ϕ + j 3cos 2 ϕ sin ϕ − 3 cos ϕ sin 2 ϕ − j sin 3 ϕ
                                =(cos 3 ϕ − 3 cos ϕ sin 2 ϕ ) + j(3cos 2 ϕ sin ϕ − sin 3 ϕ ) .
       Левые части обоих выражений равны, следовательно, равны и правые.
       Два комплексных числа считаются равными, если равны их действительные
и мнимые части. (заметим, что понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не
вводятся ).
       Итак,
                                             сos 3 ϕ = сos 3ϕ − 3 cos ϕ sin 2 ϕ ,
                                             sin 3 ϕ = 3cos 2 ϕ sin ϕ − sin 3 ϕ .
       Чтобы получить аналогичные формулы для n=4, 5, … , нужно воспользоваться
формулой:
                                                           (a+b) n =
                                                                 =a
    n          n ( n − 1)             n ( n − 1)( n  − 2)                   n(n − 1)(n − 2)(n − 3)...(n − (n − 1)) n
 n
   + a n −1b +            a n−2 b 2 +                     a n −3b 3 + ... +                                       b
    1             1⋅ 2                      1⋅ 2 ⋅ 3                                    1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ...n