Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

Упражнения
Вычислить все значения следующих корней и построить их:
3
1
,
4
j
,
j−1
,
3
22 j+−
,
6
8− ,
5
31 j+−
.
6.Показательная форма записи
По определению е )sin(cos bjbe
ajba
+=
+
.
При a=0 получим е
bjb
jb
sincos += . Эта формула принадлежит Леонарду
Эйлеру.
Leonard Euler (1707- 1783) родился в швейцарском городе Базеле, работал в
Берлинской и Петербургской академии. При жизни опубликовал 530 книг и статей,
умирая, оставил огромное количество рукописей по различным областям математики,
которые Петербургская академия публиковала в течение 47 лет после его смерти.
Формула Эйлера позволяет записать комплексное число в более компактной
показательной
форме:
ϕ
ρϕϕρ
j
ejсos ⋅=+ )sin(.
Таким образом, любое комплексное число (х,у) может быть записано в
алгебраической, тригонометрической и показательной формах.
Примеры.
(1,1)= 1 + j =
(2 cos +
4
π
jsin =)
4
π
2 e
4
π
j
.
(0,5)= 5j = 5(cos
2
5)
2
sin
2
π
ππ
j
ej =+
.
Упражнения
1.
Представить комплексное число
22
)(
1
)(
1
jbajba −
+
+
в алгебраической форме.
2.
Найти действительные решения уравнений:
(4+2j)x + (5-3j)y =13+j,
(3x-j)
jjjyxj 65)21()()2(
+
=
+
⋅
−
+
+
⋅
.
3.
Найти целое n, если (1+j)
nn
j)1( −= .
4.
Существуют ли два неравных комплексных числа, каждое из которых равно
квадрату другого?
5.
Существуют ли два неравных комплексных числа, каждое из которых равно кубу
другого?
6.
Решить уравнения: jzz +=+ 2 , z z+
2
=0.
7.
Доказать следующие соотношения:
21
zz − =
1
z -
2
z ,
21
zz ⋅ =
1
z
2
z⋅ ,
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
2
1
z
z
=
2
1
z
z
.
8.
Может ли случиться, что:
a.
модуль разности двух комплексных чисел окажется равным сумме модулей
этих чисел?
b.
модуль суммы двух комплексных чисел окажется равным разности модулей
этих чисел?
c.
модуль разности двух комплексных чисел окажется больше суммы их
модулей? 
        Упражнения
        Вычислить все значения следующих корней и построить их:
                         3
                             1 ,   4   j ,   1− j ,    3   −2+2j ,      6
                                                                            −8 ,   5
                                                                                           −1+ j 3 .


        6.Показательная форма записи


      По определению      е a + jb = e a (cos b + j sin b) .
      При a=0 получим е jb = cos b + j sin b . Эта формула принадлежит Леонарду
Эйлеру.
      Leonard Euler (1707- 1783) родился в швейцарском городе Базеле, работал в
Берлинской и Петербургской академии. При жизни опубликовал 530 книг и статей,
умирая, оставил огромное количество рукописей по различным областям математики,
которые Петербургская академия публиковала в течение 47 лет после его смерти.
      Формула Эйлера позволяет записать комплексное число в более компактной
показательной форме:
                                          ρ (сosϕ + j sin ϕ ) = ρ ⋅ e jϕ .
      Таким образом, любое комплексное число (х,у) может быть записано в
алгебраической, тригонометрической и показательной формах.

        Примеры.
                                                                                                       π
                                                               π        π                          j
                               (1,1)= 1 + j =         2( cos     + jsin ) =         2e                 4
                                                                                                           .
                                                               4       4
                                                                                           π
                                                               π            π          j
                                       (0,5)= 5j = 5(cos           + j sin ) = 5e          2
                                                                                               .
                                                               2          2
        Упражнения
                                                 1               1
   1. Представить комплексное число                     +                 в алгебраической форме.
                                           (a + jb)   2
                                                           (a − jb) 2
   2.   Найти действительные решения уравнений:
                                        (4+2j)x + (5-3j)y =13+j,
                             (3x-j) ⋅ (2 + j ) + ( x − jy ) ⋅ (1 + 2 j ) = 5 + 6 j .
   3.   Найти целое n, если (1+j) n = (1 − j ) n .
   4.   Существуют ли два неравных комплексных числа, каждое из которых равно
        квадрату другого?
   5.   Существуют ли два неравных комплексных числа, каждое из которых равно кубу
        другого?
   6.   Решить уравнения: z + z = 2 + j , z 2 + z =0.
                                                                                   ⎛z ⎞ z
   7. Доказать следующие соотношения: z1 − z 2 = z1 - z 2 , z1 ⋅ z 2 = z1 ⋅ z 2 , ⎜⎜ 1 ⎟⎟ = 1 .
                                                                                   ⎝ z2 ⎠ z2
   8. Может ли случиться, что:
         a. модуль разности двух комплексных чисел окажется равным сумме модулей
            этих чисел?
         b. модуль суммы двух комплексных чисел окажется равным разности модулей
            этих чисел?
         c. модуль разности двух комплексных чисел окажется больше суммы их
            модулей?

Страницы