Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 6 стр.

          Эта формула называется биномом Ньютона по имени английского математика
Isaac`а
      Newton`а (1643-1727). Формулу нетрудно запомнить: она содержит n+1
слагаемое, коэффициенты (после сокращения) первый и последний равны единице, второй
                                                              n(n − 1)
и предпоследний равны n, третий от начала и третий от конца -          и т.д., сумма
                                                                1⋅ 2
степеней a и b у каждого слагаемого равна n.

      Упражнения
   1. Вычислить, предварительно записав в тригонометрической форме:
                                                                          1       1     3 1002
         (1+j) 5 , (2-2j) 7 , (-3+3j) 4 , (- 2 -j 2 ) 8 , ( 5 -j 5 ) 9 , ( ) 6 , ( − j   )     .
                                                                          2       2    2
   2. Выразить через cos ϕ и sin ϕ cos4 ϕ , sin4 ϕ , cos5 ϕ и sin5 ϕ .


          5. Извлечение корня n-ой степени


       Пусть в результате извлечения корня n-ой степени из z получилось комплексное
число с модулем r и аргументом ω :
                              n
                                 z = n ρ (cos ϕ + j sin ϕ ) = r (cos ω + j sin ω ) .
       Нужно выразить r и ω через известные значения ρ и ϕ . Для этого возведём обе
части равенства в n-ю степень:
                                  ρ (cos ϕ + j sin ϕ ) = r n (cos nϕ + j sin nϕ ) .
       Получилось два равных комплексных числа, записанных в тригонометрической
форме.
       Их модули должны быть равны, а аргументы могут отличаться на целое число
полных оборотов, т.е. ρ = r n , ϕ + 2kπ = nω . Откуда
                                                                ϕ + 2kπ
                                         r= n ρ ,          ω=             .
                                                                    n
       Пример.
                                                                0 + 2kπ           0 + 2kπ
                     5
                        1 = 5 1 ⋅ (cos 0 + j sin 0) = 1 ⋅ (соs            + j sin         ).
                                                                    5                5
       При k=0: ε 0 = cos 0 + j sin 0 = 1 ,
                             2π            2π
       при k=1: ε 1 = cos         + j sin       ,
                              5             5
                              4π            4π
       при k=2: ε 2 = cos          + j sin      ,
                                5            5
                               6π           6π
       при k=3:     ε 3 = cos       + j sin      ,
                                5             5
                                8π           8π
       при k=4:      ε 4 = cos + j sin            ,
                                 5            5
                                 10π           10π
       при k=5:       ε 5 = cos        + j sin      = cos 0 + j sin 0 = ε 0 .
                                   5              5
       Таким образом, корень n-ой степени имеет ровно n значений , полученных из
выведенной формулы при k=1, 2, 3, …, n-1, которые изображаются вершинами
правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса n ρ с центром в начале
координат.