Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

будут линейно зависимыми, если какой-либо из этих векторов линейно выражается через
остальные.
В противном случае, т.е. когда соотношение
выполняется только
при
, эти векторы называются линейно независимыми.
Теорема 1. Любые два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они
коллинеарны.
Доказательство
:
1.
Действительно, пусть имеем два коллинеарных вектора и . Тогда либо оба они
равны нулю, и следовательно, любая их линейная комбинация
при
любых λ
1
и λ
2
, либо один из них не нуль, тогда другой отличается от него на
числовой множитель, например,
. Но отсюда , а это и означает
линейную зависимость векторов
и .
2.
Докажем обратное, т.е. если два вектора линейно зависимы, то они коллинеарны.
Пусть векторы
и линейно зависимы. Тогда найдутся числа λ
1
и λ
2
такие, что
, причём, например, λ
2
≠ 0. Тогда , т.е. векторы
коллинеарны.
Таким образом, теорема утверждает, что линейно независимыми на плоскости
могут быть только те векторы, которые неколлинеарны.
Аналогично можно доказать следующую теорему.
Теорема 2. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они
компланарны.
Доказательство
.
1.
Пусть три вектора линейно зависимы, т.е. ,
где, например, λ
3
≠ 0. Тогда .
Отнесём векторы
и к одному началу и проведём через них плоскость.
Тогда
и будут лежать в той же плоскости, а потому и их сумма, т.е.
будет лежать в той же плоскости, т.е. – компланарны.
2.
Пусть теперь векторы – компланарны. Тогда они будут лежать в одной
плоскости. Отнесём все три вектора к одному началу.
Если векторы
и не коллинеарны, то очевидно, вектор можно предствить в
виде
. Действительно из рисунка видно, что , где и
, а значит найдутся числа и такие, что .
Если же вектор
коллинеарен вектору , то один из них линейно выражен
через другой, т.е.
. Что и требовалось доказать. 
будут линейно зависимыми, если какой-либо из этих векторов линейно выражается через
остальные.
      В противном случае, т.е. когда соотношение                              выполняется только
при                 , эти векторы называются линейно независимыми.
   Теорема 1. Любые два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они
коллинеарны.
   Доказательство:

   1. Действительно, пусть имеем два коллинеарных вектора                и     . Тогда либо оба они
        равны нулю, и следовательно, любая их линейная комбинация                 при
        любых λ1 и λ2, либо один из них не нуль, тогда другой отличается от него на
        числовой множитель, например,                  . Но отсюда               , а это и означает
      линейную зависимость векторов и .
   2. Докажем обратное, т.е. если два вектора линейно зависимы, то они коллинеарны.
        Пусть векторы        и    линейно зависимы. Тогда найдутся числа λ1 и λ2 такие, что


                   , причём, например, λ2 ≠ 0. Тогда                     , т.е. векторы
        коллинеарны.

         Таким образом, теорема утверждает, что линейно независимыми на плоскости
      могут быть только те векторы, которые неколлинеарны.
   Аналогично можно доказать следующую теорему.
   Теорема 2. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они
компланарны.
   Доказательство.


                1. Пусть три вектора                  линейно зависимы, т.е.                     ,


                    где, например, λ3 ≠ 0. Тогда                                  .

                Отнесём векторы           и    к одному началу и проведём через них плоскость.
            Тогда     и          будут лежать в той же плоскости, а потому и их сумма, т.е.

        будет лежать в той же плоскости, т.е.                 – компланарны.


   2. Пусть теперь векторы          – компланарны. Тогда они будут лежать в одной
      плоскости. Отнесём все три вектора к одному началу.

            Если векторы         и    не коллинеарны, то очевидно, вектор       можно предствить в
        виде                 . Действительно из рисунка видно, что                    , где          и

               , а значит найдутся числа          и    такие, что                       .
            Если же вектор           коллинеарен вектору    , то один из них линейно выражен
        через другой, т.е.                    . Что и требовалось доказать.

Страницы