Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

Под углом между двумя плоскостями будем понимать один из двугранных углов,
образованных этими плоскостями. Очевидно, что угол между нормальными векторами
и плоскостей α
1
и α
2
равен одному из указанных смежных двугранных углов
или . Поэтому . Т.к. и
, то
.
Пример. Определить угол между плоскостями x+2y-3z+4=0 и 2x+3y+z+8=0.
Условие параллельности двух плоскостей.
Две плоскости α
1
и α
2
параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные
векторы
и параллельны, а значит .
Итак, две плоскости параллельны друг другу тогда и только тогда, когда
коэффициенты при соответствующих координатах пропорциональны:
или
Условие перпендикулярности плоскостей.
Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные
векторы перпендикулярны, а следовательно,
или .
Таким образом,
.
Примеры.
1.
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
M(-2; 1; 4) параллельно плоскости 3x+2y-7z+8=0.
Уравнение плоскости будем искать в виде
Ax+By+Cz+D=0. Из условия
параллельности плоскостей следует, что:
. Поэтому можно положить
A=3, B=2, C=-7. Поэтому уравнение плоскости принимает вид3x+2y-7z+D=0.
Кроме того, так как
M∈ α, то-6+2-28+D=0, D=32.
Итак, искомое уравнение 3
x+2y-7z+32=0.
2.
Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M
1
(1; 1; 1), M
2
(0; 1; –1)
перпендикулярно плоскости
x+y+z=0.
Так как
M
1
∈ α, то используя уравнение плоскости, проходящей через заданную
точку, будем иметь
A(x-1)+B(y-1)+C(z-1)=0.
Далее, так как
M
2
∈ α, то подставив координаты точки в выписанное уравнение,
получим равенство
-A-2C=0 или A+2C=0.
Учтем, что заданная плоскость перпендикулярна искомой. Поэтому
A+B+C=0.
Выразим коэффициенты
A и B через C: A=-2C, B=C и подставим их в исходное
уравнение:
-2
C(x-1)+C(y-1)+C(z-1)=0. 
    Под углом между двумя плоскостями будем понимать один из двугранных углов,
образованных этими плоскостями. Очевидно, что угол между нормальными векторами
и    плоскостей α1 и α2 равен одному из указанных смежных двугранных углов


           или                . Поэтому                       . Т.к.            и
                 , то


                                                              .
    Пример. Определить угол между плоскостями x+2y-3z+4=0 и 2x+3y+z+8=0.


    Условие параллельности двух плоскостей.
    Две плоскости α1 и α2 параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные


векторы и       параллельны, а значит              .
    Итак, две плоскости параллельны друг другу тогда и только тогда, когда
коэффициенты при соответствующих координатах пропорциональны:


                                        или
    Условие перпендикулярности плоскостей.
    Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные
векторы перпендикулярны, а следовательно,               или                       .
    Таким образом,                                  .
    Примеры.

    1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку

           M(-2; 1; 4) параллельно плоскости 3x+2y-7z+8=0.
           Уравнение плоскости будем искать в виде Ax+By+Cz+D=0. Из условия

       параллельности плоскостей следует, что:           . Поэтому можно положить
       A=3, B=2, C=-7. Поэтому уравнение плоскости принимает вид3x+2y-7z+D=0.
          Кроме того, так какM∈ α, то-6+2-28+D=0, D=32.
          Итак, искомое уравнение 3x+2y-7z+32=0.

    2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M1(1; 1; 1), M2(0; 1; –1)
       перпендикулярно плоскости x+y+z=0.

          Так как M1∈ α, то используя уравнение плоскости, проходящей через заданную
       точку, будем иметь A(x-1)+B(y-1)+C(z-1)=0.
          Далее, так как M2∈ α, то подставив координаты точки в выписанное уравнение,
       получим равенство -A-2C=0 или A+2C=0.
          Учтем, что заданная плоскость перпендикулярна искомой. Поэтому A+B+C=0.
          Выразим коэффициенты A и B через C: A=-2C, B=C и подставим их в исходное
       уравнение:
                                    -2C(x-1)+C(y-1)+C(z-1)=0.

Страницы