Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 57 стр.

    При изменении параметра t изменяются координаты x, y и z и точка М перемещается
по прямой.




   КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ




    Пусть М1(x1, y1, z1) – точка, лежащая на прямой l, и           – её направляющий
вектор. Вновь возьмём на прямой произвольную точку М(x,y,z) и рассмотрим вектор
                           .
   Ясно, что векторы     и коллинеарные, поэтому их соответствующие координаты
должны быть пропорциональны, следовательно,


                       – канонические уравнения прямой.
   Замечание 1. Заметим, что канонические уравнения прямой можно было получить из
параметрических,исключив параметр t. Действительно, из параметрических уравнений


получаем                                или                       .

   Пример. Записать уравнение прямой                       в параметрическом виде.

    Обозначим                      , отсюда x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.
    Замечание 2. Пусть прямая перпендикулярна одной из координатных осей, например
оси Ox. Тогда направляющий вектор прямой перпендикулярен Ox, следовательно, m=0.



Следовательно, параметрические уравнения прямой примут вид
   Исключая из уравнений параметр t, получим уравнения прямой в виде




   Однако и в этом случае условимся формально записывать канонические уравнения


прямой в виде                         . Таким образом, если в знаменателе одной из
дробей стоит нуль, то это означает, что прямая перпендикулярна соответствующей
координатной оси.