Высшая математика. Ч.2. Семёнова Т.В. - 102 стр.

Если правая часть дифференциального уравнения              непрерывна и по
переменной у имеет ограниченную частную производную               на области
прямоугольника, ограниченного                                          , то
решение

            , удовлетворяющее начальным условиям              , непрерывно
зависит от начальных данных, т.е. для любого                , при котором
если

          то                       при условии, что

                                            где




Эта теорема справедлива как для одного дифференциального уравнения, так
и для системы уравнений.



   Определение. Если                             - решение системы
дифференциальных уравнений, то это решение называется устойчивым по
Ляпунову, если для любого            , такое, что для любого решения
                     той же     системы,   начальные    условия     которого
удовлетворяют неравенствам



справедливы неравенства




   (Ляпунов Александр Михайлович (1857 – 1918) академик Петерб. АН)



 Т.е. можно сказать, что решение ϕ(t) устойчиво по Ляпунову, если близкие к
нему по начальным условиям решения остаются близкими и при t ≥ t0.