Высшая математика. Ч.2. Семёнова Т.В. - 104 стр.

 Теорема. (Теорема Ляпунова). Пусть задана система




имеющая тривиальное решение           .

    Пусть    существует       дифференцируемая       функция              ,
удовлетворяющая условиям:

 1)         ≥0 и v = 0 только при у1 = у2 = … = уn =0, т.е. функция v имеет
минимум в начале координат.

 2) Полная производная функции v вдоль фазовой траектории (т.е. вдоль
решения yi(t) системы (1)) удовлетворяет условию:


                                                   при

Тогда точка покоя                устойчива по Ляпунову.

 Если ввести дополнительное требование, чтобы вне сколь угодно малой
окрестности начала координат                  выполнялось условие




где β - постоянная величина,          то   точка    покоя
 асимптотически устойчива.

 Функция v называется функцией Ляпунова.