Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 126 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

7 Ортогональные преобразования
Сохранение этой информации позволит впоследс т в ии решать систе м ы
уравнений Ax = z (совместные или несовместные, в последнем случае —
по методу наименьших квадратов, см. подразд. 7.3) или же находить обрат-
ную матрицу A
−1
(когда m = n).
Необходимая информация — это значения косинуса и синуса, однако их
сохранение было бы неэффективным решением. Gentleman (1973) предло-
жил способ [11], включенный в рис. 7 .8(б) и (г) с геометрической иллюстра-
цией его действия на рис. 7.8(е). Введенный им рабочий признак ζ — это
одно число, которое можно хранить в позиции (i, j) как ζ
j,i
вместо нулевого
элемента, появляющегося в позиции (i, j) матрицы (7.39) в момент преобра-
зования P
j,t
(t = i + 1 −j) в (7.37). Как и с преобразованиями Хаусхолдера,
нахождение A
−1
после преобразований Гивенса требует такой же последова-
тельности процедур: сначала находят R
−1
(см. рис. 7.5 (внизу)), затем к R
−1
применяют с правой стороны финальное преобразо в а ние P , P
(N)
(7.38),
так как A
−1
= R
−1
P . Для этого для рис. 7.5 (внизу) надо взять алгоритм из
рис. 7.8(д), который также отыскивает P z при решении уравнения Ax = z.
7.8 Варианты заполнения матрицы R
Традиционно ортогональные преобразования (выше рассмотрены T —
преобразование Хаусхолдера и P — преобразо в а ние Гивенса) приводят мат-
рицу к виду, показанному на рис. 7.4 или в выражении (7.39). Однако выбор
того угла матрицы, который должен остаться треугольно заполненым, есте-
ственно, произволен. Предпочтения диктуются целями использования, т. е.
предназначением преобразования. Преследуя здесь учебно-тренировочные
цели, включим в проект (см. подразд. 7.16) в се четыре во зможных вари-
анта заполнения матрицы R. В а риант 1 показан в (7.39), другие три имеют
следующий вид. Ва риант 2:
QA =
R
···
0
,
R =
0
, R
nw
, (7.40)
где Q обозначает либо T (преобразование Хаусхолдера), либо P (преобра-
зование Гивенса), индекс
nw
подчеркивает, что в треуг о льной мат рице R
заполненной часть ю может быть только «северо-западная» (north-by-west)
126

Страницы