Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 128 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

7 Ортогональные преобразования
X = A
−1
= QY . Матрица Q не формируется, из чего видна необходимость
запоминания преобразований, обеспечивших AQ = R.
7.10 Двусторонние ортогональные преобразования
Ортогональные преобразова ния, будучи применены одновременно слева и
справа к данной матрице A, позволяют приводить е е к формам с нулями ка к
ниже, так и выше диагонали. Это, в свою очередь, облегчает реше ние других
сложных задач (матричная проблема собственных значений [143]). С помо-
щью ортогональных преобразований для квадратной матрицы широко рас-
пространены: приведение симметрической матрицы к трехдиагональному
виду и приведение квадратной мат рицы к двухдиагональному виду. При
этом в качестве ортог о нальных преобразований одинаково успешно могут
быть использованы преобразования Хаусхолдера или преобразования Ги-
венса.
Приведение симм етрической матрицы к трехдиагональному виду.
Применим к симметрической м а т рице слева и справа преобразование Хаус-
холдера (или Гивенса), выбирая его из задачи желаемого преобразования
ведущего столбца и ведуще й строки, а именно: сохранение первого диаго-
нального элемента, получение ненулевых элементов в двух смежных с ним
позициях и получение нулевых элементов в остальных позициях.
Лемма 7.3. Пусть дана матрица A = A(n, n) = A
T
. Тогда существует
ортогональное преобразование Q
2
(Хаусхолдера T
2
или Гивенс а P
2
) такое,
что
I
1
0
0 Q
2
A
I
1
0
0
Q
T
2
=
1
z}|{
1
z}|{
n−2
z
}|{
1{
a
1
s
1
0
s
1
0
˜
A
.
1{
n−2
(7.43)
Замечание 7.6. В (7.43) транспонирование Q
T
2
не требуется, если в
качестве Q
2
взято преобразование Хаусхолдера (в силу его симметричности).
При э т о м индекс «
2
» указывает на позицию того элемента в ведущем столбце
(для левостороннего преобразования) или в ведущей строке (для правосто-
роннего преобразования), который остается ненулевым в этом столбце (в ре-
зультате применения Q
2
) или в этой строке (в результате применения Q
T
2
).
128

Страницы