Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 127 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

7.9 Правосторонние ортогональные преобразования
часть. Вариант 3:
QA =
0
···
R
,
R =
0
, R
se
, (7.41)
где индекс
se
подчеркивает, что в треугольной матрице R заполненной
частью может быть т о лько «юго-восточная» (south-by-east) часть. Вари-
ант 4:
P A =
0
···
R
,
R =
0
, R
sw
, (7.42)
где индекс
sw
подчеркивает, что в тре угольной матрице R з а полненной
частью может быть только «юго-западная» (south-by-west) часть. Вполне
очевидно, что эти варианты получаются простым изменение порядка дей-
ствий в алгоритмах преобразований.
7.9 Правосторонние ортогональные преобразования
С правосторонними ортогональными преобразованиями мы уже сталки-
вались (см. подразд. 7.6); то гда для квадратной матрицы A после T A = R
вычисляли A
−1
= R
−1
T . Однако , можно начинать с правостороннего пре-
образования матрицы A; тогда отыскание A
−1
потребует, соотв етственно,
левостороннего преобразования.
Пусть A = A(n, n) — квадратная невырож де нная матрица. Будем рас-
сматривать ее ст роки как векторы в R
n
. Преобразования вектора как мат-
рицы-строки в n-мерном линейном пространстве задаются умножением ее на
преобразующую матрицу справа. Поэтому правосторонним ортогональным
преобразованием Q можно привести матрицу A к виду AQ = R, где при-
менена ортогональная матрица Q одного из типов, а R — треуг о льная мат-
рица, имеющая фо рму одного из в о зможных вариантов заполнения (см. под-
разд. 7. 8). При этом преобразованию Q подвергаются не столбцы, а строки
матрицы A, и преобразо ва ние Q запоминается по принципу, показанному
ранее на рис. 7.5 и рис. 7.8, на месте элементов, обращаемых в нуль.
После такого преобразования матрицы A решение системы Ax = z сво-
дится к решению эквивалентной системы с треугольной матрицей Ry = z.
Затем искомый вектор определяется через сохраненное преобразование Q
как x = Q y. Обратная матрица A
−1
, соответственно, находится как реше-
ние системы RY = I с последующим преобразованием Q матрицы Y , т. е.
127

Страницы