Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 129 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

7.10 Двусторонние ортогональные преобразования
В данном случае, т. е. в (7.43), эти элементы суть s
1
и s
1
. Элемент a
1
не
изменяется, так как I
1
— единичная мат рица размера 1 × 1.
Теорема 7.3 (Тридиагонализация симметрической м атр ицы). Пусть
дана симметрическая матрица A = A(n, n) = A
T
, A
1
:= A(n, n) и для каж-
дого j = 1, . . . , k, где k ≤ N = n −2, выбрано элементарное преобразование
Q
j+1
(Хаусхолдера T
j+1
или Гивенса P
j+1
) так, что
I
1
0
0 Q
j+1
A
j
I
1
0
0
Q
T
j+1
=
1
z}|{
1
z}|{
n−j−1
z
}| {
1{
a
j
s
j
0
s
j
0
A
j+1
.
1{
n−j−1
(7.44)
Тогда после k повторных примене ний леммы 7.3 имеем отвечающую
этому моме нту процесса итоговую матрицу преобразований
Q
(k)
=
I
k
0
0 Q
k+1
Q
(k−1)
, 1 ≤ k ≤ N = n − 2, Q
(0)
= I
n
(7.45)
и промежуточный результат тридиагонализации данной ма т рицы A в виде
a
1
s
1
s
1
a
2
s
2
s
2
s
k
s
k
a
k
.
.
.
A
k+1
0
0
Q
(k)
A
Q
(k)
T
=
.
.
.
.
.
.
.
Приведение квадратной матрицы к двухдиагональ ному виду.
Применим к произвольной квадратной матрице слева преобразование Q
1
и справа преобразование S
2
(беря любое из них как преобразование Хаус-
холдера или как преобразование Гивенса), при этом Q
1
выберем из задачи
желаемого преобразования ведущего сто лбца и S
2
— из задачи желаемого
преобразования ведущей с т роки, а именно: при действии Q
1
— получение
ненулевого диагонального элемента и нулевых элементов ниже него в пер-
вом (ведущем) сто лбце; при действии S
2
— сохранение диагонального эле-
мента, получение в с м ежной с ним позиции ненулевого элемента и нулевых
элементов праве е него в первой (ве дущей) строке.
129

Страницы