Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 131 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

7.11 Ортогонализация Грама–Шмидта
Выполнив после k = n − 2 еще одно ле во стороннее преобразование Q
n−1
(что отвечает применению верхней формулы (7.48) для k = n−1), получаем
окончате льно
s
1
a
1
a
2
s
2
s
n−1
s
n
a
n−1
.
.
.
.
.
.
0
0
Q
(n−1)
AS
(n−2)
=
.
Основное применение указанных двусторонних ортогональных преобра-
зований заключается в вычислении сингулярных значений [1 3] произволь-
ной матрицы A = A(n, n), а также в решении проблемы собстве нных зна-
чений [143]. Однако эти преобразовавания м ожно использовать и для реше-
ния системы линейных алгебраических уравнений Ax = f. П о сле приведе-
ния ма т рицы к двух– или трехдиагональному виду систем а уравнений легко
решается. Например, в случае с трехдиагональной матрицей система очень
эффективно решается методом прогонки [12].
7.11 Ортогонализация Грама–Шмидта
Пусть A = A(m, n) — матрица, имеющая m строк и n столбцов, при-
чем m ≥ n. Обозначая i-й столбец через a
i
, запишем A = [a
1
, a
2
, . . . , a
n
],
a
i
∈ R
m
. Рассмотрим случай матрицы полного ранга, т. е. rank A = n. Тогда
набор векторов {a
i
} порождает некото рое подпространство L ∈ R
m
, т. е.
может считаться его баз ис о м . Назовем этот набор исходным базисом и пре-
образуем его в ортонормированный базис. Такое преобразование называется
процедурой ортогонализации системы векторов {a
1
, a
2
, . . . , a
n
}.
Согласно определению, ортонормированным базисом в L ∈ R
m
называ-
ется система векторов {q
1
, q
2
, . . . , q
n
} такая, что
1) ∀i : q
i
∈ R
m
, m ≥ n, q
T
i
q
i
= kq
i
k
2
= 1;
2) ∀i, j, i 6= j : q
T
i
q
j
= 0
и любой вектор a
i
имеет единственное представление
a
i
=
n
X
j=1
q
j
b
ji
, i = 1, 2, . . . , n,
131

Страницы