Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 133 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

7.12 Алгоритмы ортогонализации Грама–Шмидта
•
Модифицированная ГШО (МГШО)
В этом варианте ненулевые элементы матрицы R вычисляются по стро-
кам, начиная с самой длинной (сос т оящей из n элементов) строки.
•
МГШО с выбором ведущего вектора
Этот вариант МГШО-алгоритма использует стратегию выбора веду-
щего вектора. В качестве очередного, подлежащего ортогонализации
вектора, выбирается тот из оставшихся столбцов матрицы A, который
имеет наибольшую длину (евклидову норму). Хотя эта стратегия тре-
бует дополнительных вычислительных затрат, в не которых плохо обу-
словленных задачах она так же полезна, как и выбор главного элемента
в методе Гаусса.
Таким oбpaзом, данной темой — ортогонализация Грама–Шмидта — в
предлагаемом проекте (см. подразд. 7.16) охвачено (4 × 3) = 12 различных
вариантов задачи разложения A = QR.
Замечание 7.7. Обратим внимание на различия между двумя
типами ортого нальных преобразований, а именно: ме ж ду преобразовани-
ями Хаусхолдера и Гивенса (если говорить о левосторонних их версиях, хотя
возможны и правосторонние) — это один тип преобраз ов а ний, и ортогонали-
зацией Грама–Шмидта — другой тип. Первый тип обеспечивает равенства
(7.39), (7.4 0 ), (7.41) или (7.42), где преобразованная ма трица QA имеет тот
же размер, что и исходная матрица A, и в ее составе присутствует блок,
появляющийся как тре угольная матрица R в одном из четырех углов этой
матрицы QA. При этом матрица Q ортогонального преобразования — квад-
ратная. В случае ортогонализации Грама–Шмидта имеем A = QR, где Q —
матрица того же размера, что и A, но с ортонормированными столбцами, а
R — строг о квадратная матрица с треугольным з а полнением.
7.12 Алгоритмы ортогонализации Грама–Шмидта
Рассмотрим задачу QR - разложения матрицы A(m, n), m ≥ n, полного
ранга на основе ортогонализации Грама–Шмидта.
В данной задаче, рассматривая пример n = 3, имеем
R =
r
11
r
12
r
13
r
22
r
23
r
33
,
133

Страницы