Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 134 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

7 Ортогональные преобразования
A = [a
1
, a
2
, a
3
] = [q
1
, q
1
, q
3
]R = [r
11
q
1
, r
12
q
1
+ r
22
q
2
, r
13
q
1
+ r
23
q
2
, r
33
q
3
].
В результате получаем линейную систему
r
11
q
1
= a
1
,
r
12
q
1
+ r
22
q
2
= a
2
,
r
13
q
1
+ r
23
q
2
+ r
33
q
3
= a
3
.
Ясно, что каждое из этих в ыражений представляет собой разложение век-
тора a
1
, a
2
или a
3
по системе ортов {q
1
, q
2
, q
3
}, при этом коэффициент r
ij
есть алгебраическая проекция вектора a
j
на орт q
i
.
В силу треугольности матрицы R эта система легко решается. Из первого
уравнения находим орт q
1
вдоль вектора a
1
и коо рдинату (проекцию как
число) первого вектора a
1
вдоль орта q
1
:
q
1
= a
1
/ka
1
k, r
11
= ka
1
k.
Второе уравнение есть разложение вектора a
2
на сумму проекций вдоль
ортов q
1
и q
2
. Так как орт q
1
уже найден, то координата r
12
легко определя-
ется в виде
r
12
= a
T
2
q
1
.
После этого из второг о уравнения имеем
r
22
q
2
= a
2
− r
12
q
1
,
следовательно,
q
2
= (a
2
− r
12
q
1
)/ka
2
− r
12
q
1
k,
r
22
= ka
2
− r
12
q
1
k.
Замечание 7.8. По предположению, rank A = n, т. е. ни один из
векторов a
i
не является нулевым, и все a
i
образуют линейно независимую
систему. Поэтому r
11
6= 0, r
22
6= 0 и r
33
6= 0, с ле дова т ельно, суще ствует R
−1
.
Продолжая реш ение систе м ы, для третьего уравнения находим
r
13
= a
T
3
q
1
, r
23
= a
T
3
q
2
и за т ем определяем
r
33
q
3
= a
3
− r
13
q
1
− r
23
q
2
.
Отсюда
q
3
= (a
3
− r
13
q
1
− r
23
q
2
)/ka
3
− r
13
q
1
− r
23
q
2
k,
r
33
= ka
3
− r
13
q
1
− r
23
q
2
k.
134

Страницы