Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 132 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

7 Ортогональные преобразования
где b
T
i
= (b
1i
, b
2i
, . . . , b
ni
) — вектор-строка некоторых коэффициентов. Следо-
вательно, матрицу A можно представить в виде произведения двух матриц
A = QB, где Q = [q
1
, q
2
, . . . , q
n
] — матрица размера (m×n), составленная из
столбцов q
i
∈ R
m
, а B = [b
1
, b
2
, . . . , b
n
] — матрица размера (n × n), состав-
ленная из столбцов b
i
∈ R
n
. Матрица Q = Q(m, n) в это м представлении
состоит из ортонормированных векторов-столбцов, в частном случае m = n
в качестве Q имеем ортогональную матрицу, т. е. Q
T
Q = I.
Таким образом, ортогонализация столбцов матрицы A есть представле-
ние A = QB, где Q — матрица тех же размеров, что и A, но в отличие от A,
имеющая ортонормированные столбцы, при этом B — квадратная мат рица,
обеспечивающая равенство A = QB. Очевидно, существует бесконечное
множество таких представлений матрицы A, поскольку число ортонорми-
рованных базисов не ог раничено. Для обеспече ния единственности среди
множества версий A = QB выберем представление, при котором B —
треугольная матрица, которую далее традиционно будем обозначать R,
поскольку в ней оказывается заполнен правый (right) верхний угол, т. е.
R = R
ne
. Хотя традиционно ортогонализацией Грама–Шмидта называют
отыскание по м ат рице A такой матрицы Q, что A = QR, где R = R
ne
, для
R будем допускать все четыре возможных варианта заполнения (см. под-
разд. 7.8):
✧ вариант 1: R = R
ne
, где R
ne
— верхняя правая треугольная матрица;
✧ вариант 2: R = R
sw
, где R
sw
— нижняя левая треугольная м а т рица;
✧ вариант 3: R = R
se
, где R
se
— нижняя правая треугольная матрица;
✧ вариант 4: R = R
nw
, где R
nw
— верхняя левая треугольная матрица.
Для ортогонализации системы векторов вычисление матрицы R в явном
виде может и не требоваться, хотя такое вычисление в сегда присутствует.
Hиже, рассм а т ривая ортогонализацию Грама–Шмидта обобщенно, т. е. во
всевозможных вариантах треугольного заполнения ма т рицы R, мы будем
требовать явного нахождения факторов (со множителей) Q и R в разложе-
нии A = QR. Для любого из вариантов возможны три формы алг о ритма,
отличающиеся порядком действий.
•
Грама–Шмидта Ортогонализация (ГШО)
Этот вариант алгоритма предполагает вычисление ненулевых элемен-
тов матрицы R по ст олбцам, начиная с с а м о го короткого (одноэлемент-
ного) столбца.
132

Страницы