Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 130 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

7 Ортогональные преобразования
Лемма 7.4. Пусть дана матрица A = A(n, n). Тогда существуют
ортогональное преобразование Q
1
(Хаусхолдера или Гивенса) и ортогональ-
ное преобразование S
2
(Хаусхолдера или Гивенса) такие, что
Q
(1)
AS
(1)
=
1
z}|{
1
z}|{
n−2
z
}|{
1{
s
1
a
1
0
0
˜
A
,
n−2
Q
(1)
= Q
1
,
S
(1)
=
I
1
0
0 S
2
.
(7.46)
Теорема 7.4 (Бидиагонализация квадратной матрицы). Пусть дана
квадратная мат рица A = A(n, n), A
1
:= A и для каждого j = 1, . . . , k, где
k ≤ n − 2, выбраны элементарное преобразование Q
j
(Хаусхолдера типа
T
j
или Гиве нса типа P
j
) и элементарное преобразование S
j+1
(Хаусхолдера
типа T
j+1
или Гивенса типа P
j+1
) таким образом, что в результате получаем
Q
j
A
j
I
1
0
0
S
j+1
=
1
z}|{
1
z}|{
n−j−1
z
}| {
1{
s
j
a
j
0
0 A
j+1
.
n−j
(7.47)
Тогда после k повторных применений леммы 7.4 имеем отвечающие эт о м у
моменту процесса итоговые матрицы прео б разований
Q
(k)
=
I
k−1
0
0 Q
k
Q
(k−1)
, k ≤ n − 2, Q
(0)
= I
n
, Q
(1)
= Q
1
,
S
(k)
= S
(k−1)
I
k
0
0 S
k+1
, k ≤ n − 2, S
(1)
=
I
1
0
0 S
2
(7.48)
и промежуточный результат бидиагонализации данной матрицы A в виде
s
1
a
1
s
2
a
2
.
.
.
.
.
.
s
k
a
k
A
k+10
0
Q
(k)
AS
(k)
=
.
130

Страницы