ВУЗ:
Составители:
8 Итерационные методы
Пусть B — симметрическая положительно определенная матрица. Тогда
метод минимальных поправок — это метод (8.26), в котором парамет р τ
k+1
минимизирует норму kω
k+1
k
B
= (Bω
k+1
, ω
k+1
)
1/2
при ранее полученном век-
торе ω
k
. В случае B = I метод минимальных поправок совпадает с методом
минимальных невязок.
Перепишем (8.32) в виде
ω
k+1
= ω
k
− τ
k+1
B
−1
Aω
k
и вычислим
kω
k+1
k
2
B
= kω
k
k
2
B
− 2τ
k+1
(Aω
k
, ω
k
) + τ
2
k+1
(B
−1
Aω
k
, Aω
k
) .
Мининум kω
k+1
k
2
B
достигается, если и только если
τ
k+1
=
(Aω
k
, ω
k
)
(B
−1
Aω
k
, Aω
k
)
. (8.33)
Для реализации метода минимальных поправок требуется на каждой
итерации решать систему уравнений Bω
k
= r
k
относительно поправки ω
k
и затем решать систему уравнений Bv
k
= Aω
k
, откуда находят вектор
v
k
= B
−1
Aω
k
, необходимый для вычисления параметра τ
k+1
.
Теорема 8.5 ( [12]). Пусть A и B — симметрические положительно
определенные матрицы и λ
min
(B
−1
A), λ
max
(B
−1
A) — наименьшее и наиболь-
шее собст в енные значения в задаче Ax = λBx. Для погрешности метода
минимальных поправок справедлива оценка
kA(x
n
− x)k
B
−1
≤ ρ
n
0
kA(x
0
− x)k
B
−1
, n = 0, 1, . . . ,
где
ρ
0
=
1 −ξ
1 + ξ
, ξ =
λ
min
(B
−1
A)
λ
max
(B
−1
A)
.
Метод скорейшего спуска
Возьмем явный метод (8.13) и выберем итерационный параметр τ
k+1
из
условия минимума kz
k+1
k
A
при заданном векторе z
k
, где z
k+1
= x
k+1
− x.
Поскольку погрешность z
k
удовлетворяет уравнению
z
k+1
= z
k
− τ
k+1
Az
k
,
имеем
kz
k+1
k
2
A
= kz
k
k
2
A
− 2τ
k+1
(Az
k
, Az
k
) + τ
2
k+1
(A
2
z
k
, Az
k
) .
152
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 150
- 151
- 152
- 153
- 154
- …
- следующая ›
- последняя »
