Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 153 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

8.10 Итерационные методы вариационного типа
Минимум нормы kz
k+1
k
2
A
достигается при τ
k+1
=
(Az
k
, Az
k
)
(A
2
z
k
, Az
k
)
.
Величина z
k
= x
k
− x неизвестна, но Az
k
= r
k
= Ax
k
− f. Поэтому
вычисление τ
k+1
проводят по формуле
τ
k+1
=
(r
k
, r
k
)
(Ar
k
, r
k
)
.
Теорема 8.6 ( [12]). Для погрешности явного метода скорейшего
спуска справедлива оценка
kx
n
− xk
A
≤ ρ
n
0
kx
0
− xk
A
, n = 0, 1, . . . ,
где
ρ
0
=
1 − ξ
1 + ξ
, ξ =
λ
min
(A)
λ
max
(A)
.
Если вместо (8.13) взять неявный метод (8.26) и параметр τ
k+1
выбирать
из условия минимума kz
k+1
k
A
, то получим неявный метод наискорейшего
спуска. Д ля него
kz
k+1
k
2
A
= kz
k
k
2
A
− 2τ
k+1
(Az
k
, B
−1
Az
k
) + τ
2
k+1
(AB
−1
Az
k
, B
−1
Az
k
) ,
или
kz
k+1
k
2
A
= kz
k
k
2
A
− 2τ
k+1
(r
k
, ω
k
) + τ
2
k+1
(Aω
k
, ω
k
) .
Следовательно, норма kz
k+1
k
2
A
будет минимальной при
τ
k+1
=
(r
k
, ω
k
)
(Aω
k
, ω
k
)
.
Теорема 8.7 ( [12]). Для неявного метода скорейшего спуска спра-
ведлива оценка
kx
n
− xk
A
≤ ρ
n
0
kx
0
− xk
A
, n = 0, 1, . . . ,
где
ρ
0
=
1 − ξ
1 + ξ
, ξ =
λ
min
(B
−1
A)
λ
max
(B
−1
A)
.
153

Страницы