Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 151 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

8.10 Итерационные методы вариационного типа
Метод минимальных невязок есть метод (8.28), в котором параметр τ
k+1
минимизирует kr
k+1
k при заданной норме kr
k
k невя зки текущего шага. Най-
дем э т о значение. Из (8.29) получаем:
Ax
k+1
= Ax
k
− τ
k+1
Ar
k
,
r
k+1
= r
k
− τ
k+1
Ar
k
. (8.30)
Возводя обе части уравнения (8.30) скалярно в квадрат, получим
kr
k+1
k
2
= kr
k
k
2
− 2τ
k+1
(r
k
, Ar
k
) + τ
2
k+1
kAr
k
k
2
.
Отсюда видно, что kr
k+1
k достигает минимума при
τ
k+1
=
(Ar
k
, r
k
)
kAr
k
k
2
. (8.31)
Таким образом, в ме т оде минимальных невязок переход от k- й итерации
к (k + 1)-й осуще ствляется по с ледующему алгоритму:
по найденному значению x
k
вычисляют вектор невязки r
k
= Ax
k
− f,
по формуле (8.31) находят параметр τ
k+1
,
по формуле (8.29) определяют вектор x
k+1
.
Теорема 8.4 ( [12]). Пусть A — симметрическая положительно опре-
деленная матрица. Для погрешности метода минимальных невязок справед-
лива оценка
kA(x
n
− x)k ≤ ρ
n
0
kA(x
0
− x)k , n = 0, 1, . . . ,
где
ρ =
1 − ξ
1 + ξ
, ξ =
λ
min
(A)
λ
max
(A)
.
Иными словами, метод минимальных невязок сходится с той же скоро-
стью, что и метод простой итерации с оптимальным параметром τ.
Метод минимальных поправок
Запишем неявный итерационный мет од (8.26) в виде
x
k+1
= x
k
− τB
−1
r
k
,
где r
k
= Ax
k
−f — невязка. Вектор ω
k
= B
−1
r
k
называют поправкой итера-
ционного метода на (k+1)-й итерации. Поправка ω
k
удовлетворяет тому же
уравнению, что и погрешность z
k
= x
k
−x неявного метода, т. е. уравнению
B
ω
k+1
− ω
k
τ
k+1
+ Aω
k
= 0 . (8.32)
151

Страницы