ВУЗ:
Составители:
8 Итерационные методы
Отсюда при малых ξ имеем
n
0
(ε) ≈
ln(1/ε)
2ξ
= O
1
ξ
.
Это свидете льствует о т о м , что метод простой итерации в случае малых ξ
является медленно сходящимся методо м . Ускорить сходим о сть можно двумя
способами: применяя неявный итерационный метод и/или делая τ = τ
n+1
зависящим от номера итерации.
8.10 Итерационные методы вариационного типа
Найти минимальное и максимальное по абсолютному значению собствен-
ные числа в обобщенной задаче (8.23) на собс т в енные значения бывает
сложно, а без них невозможно з адать наилучшее значение итерационного
параметра (8.25). В таких случаях мож но использ о в а ть другой класс итера-
ционных ме т одов — методы вариационного типа. Здесь на каждой итера-
ции
B
x
k+1
− x
k
τ
k+1
+ Ax
k
= f , (8.26)
для параметра τ
k+1
выбирают то значение, которое минимизирует пред-
определенный критерий качества, связанный с погрешностью kx
k+1
− xk
D
,
при условии, что предыдущая итерация уже сост оялась с погрешностью
kx
k
− xk
D
. В завис имости от выбора матриц D и B получают различные
методы этого типа.
Метод минимальных невязок
Рассмот рим уравнение Ax = f с A = A
T
> 0. Разность
r
k
= Ax
k
− f , (8.27)
которая получается при подстановке приближенного значения x
k
в это урав-
нение, называют невязкой. Пог решность z
k
= x
k
− x и невя зка r
k
связаны
равенством Az
k
= r
k
. Представим явный итерационный м етод
x
k+1
− x
k
τ
k+1
+ Ax
k
= f (8.28)
в виде
x
k+1
= x
k
− τ
k+1
r
k
. (8.29)
150
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 148
- 149
- 150
- 151
- 152
- …
- следующая ›
- последняя »
