Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 149 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

8.9 Скорость сходимости итерационных методов
называется оптимальным итерационным параметром, минимизирующим
ρ =
1 − ξ
1 + ξ
, ξ =
γ
1
γ
2
на множестве все х положительных γ
1
, γ
2
, удовлетворяющих условиям (8.24).
В случае метода простой итерации (B = I) получаем два следствия.
Следствие 8.4. Если A
T
= A > 0, то для ме тода простой итерации
x
n+1
− x
n
τ
+ Ax
n
= f
при
τ = τ
0
=
2
λ
min
(A) + λ
max
(A)
справедлива оценка
kx
n
− xk ≤ ρ
n
0
kx
0
− xk,
где [12]
ρ
0
=
1 − ξ
1 + ξ
, ξ =
λ
min
(A)
λ
max
(A)
.
Следствие 8.5. Для с имметрической ма т рицы A и τ
0
= 2/(λ
min
(A)+
+ λ
max
(A)) с праведливо раве нс т в о
kI − τ
0
Ak = ρ
0
,
где [12]
ρ
0
=
1 − ξ
1 + ξ
, ξ =
λ
min
(A)
λ
max
(A)
.
В приложениях часто встречаются задачи с плохо обусловленной матр и-
цей A, когда соотношение λ
max
(A)/λ
min
(A) ве лико. В этом случае число ρ
0
близко к единице, и метод простой итерации сходится медленно. Число ите-
раций n
0
(ε), которое требуется в случае малых ξ для достижения заданной
точности ε, т. е. для достижения оце нки
kx
n
− xk ≤ εkx
0
− xk,
получается из условия ρ
n
0
< ε в виде n ≥ n
0
(ε), где
n
0
(ε) =
ln(1/ε)
ln(1/ρ
0
)
.
149

Страницы