Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 147 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

8.9 Скорость сходимости итерационных методов
Следствие 8.2. Пусть A = A
T
> 0. Тогда ме т од верхней релаксации
(D + ωA
1
)
x
n+1
− x
n
ω
+ Ax
n
= f
сходится при условии 0 < ω < 2. В частнос т и, метод Зейделя сходится [12].
Следствие 8.3. Пусть A = A
T
> 0. Тогда для метода простой
итерации
x
n+1
− x
n
τ
+ Ax
n
= f
необходимым и достаточным условием сходимости является неравенств о
0 < τ < 2/λ
max
,
где λ
max
— наибольшее по абсолютному значению собственное число мат-
рицы A, наз ываемое также спектральным радиусом ρ(A) матрицы A [12].
Сходимость итерационного метода (8.11) означает, что z
n
→ 0 в неко-
торой норме при n → ∞. Переписав уравнение (8.15), получим:
z
n+1
= Sz
n
, n = 0, 1, . . . , (8.18)
где
S = I − τB
−1
A (8.19)
называют переходной матрицей погрешности от n-й итерации к (n + 1)-й.
Теорема 8.2 ( [12]). Итерационный метод
B
x
n+1
− x
n
τ
+ Ax
n
= f , n = 0, 1, . . . , (8.20)
сходится при любом начальном приближении тогда и только тогда, когда
все собственные значения матрицы (8.19) по модулю меньше единицы.
8.9 Скорость сходимости итерационных методов
Теорема 8.2 о сходимости имеет принципиальное значение и накладывает
минимальные ог раничения на матрицы A и B. Однако ее непосредственное
применение к конкретным итерационным ме т одам не всегда возможно, так
как исследование спектра матрицы (8.19) является более трудоемко й зада-
чей, чем решение исходной сист емы Ax = f.
147

Страницы