Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 146 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

8 Итерационные методы
с переменным τ
n+1
есть итерационный метод Ричардсона. Юнг усовершен-
ствовал метод Зейделя, введя в него параметр ω > 0. Этот метод получил
название метод верхней релаксации:
(D + ωA
1
)
x
n+1
− x
n
ω
+ Ax
n
= f . (8.14)
Расчетная схема для (8.14) с учетом (8.6) получается в виде
(I + ωD
−1
A
1
)x
n+1
= ((1 − ω)I − ωD
−1
A
2
)x
n
+ ωD
−1
f .
В покомпонентной записи име ем
x
n+1
i
+ ω
i−1
X
j=1
a
ij
a
ii
x
n+1
j
= (1 − ω)x
n
i
− ω
m
X
j=i+1
a
ij
a
ii
x
n
j
+ ω
f
i
a
ii
, i = 1, 2, . . . , m.
Последовательно, начиная с i = 1, находим вс е x
n+1
i
, например, первые два:
x
n+1
1
= (1 − ω)x
n
1
− ω
m
X
j=2
a
1j
a
11
x
n
j
+ ω
f
1
a
11
,
x
n+1
2
= −ω
a
21
a
11
x
n+1
1
+ (1 − ω)x
n
2
− ω
m
X
j=3
a
2j
a
22
x
n
j
+ ω
f
2
a
22
.
8.8 Сходимость итерационных методов
Запишем стационарный одношаговый итерационный метод (8.11) в тер -
минах погрешности z
n
= x
n
− x:
B
z
n+1
− z
n
τ
+ Az
n
= 0 , n = 0, 1, . . . , z
0
= x
0
− x . (8.15)
Теорема 8.1 ( [12]). Пусть A = A
T
> 0, τ > 0 и выполнено неравен-
ство
B − 0.5τA > 0 . (8.16)
Тогда итерационный метод (8.11) сходится.
Следствие 8.1. Пусть A = A
T
> 0. Тогда метод Якоб и сходится [12],
если A — матрица с диагональным преобладанием, т. е. при условии
a
ii
>
X
j6=i
| a
ij
|, i = 1, 2, . . . , m . (8.17)
146

Страницы