Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 144 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

8 Итерационные методы
8.5 Матричная запись методов Якоби и Зейделя
Сопоставительный анализ итерационных методов упрощается, если запи-
сать их не в координатной, а в матричной форме. Представ им матрицу A в
виде суммы трех матриц
A = A
1
+ D + A
2
, (8.6)
где D = diag [a
11
, a
22
, . . . , a
mm
]; — диагональная ма т рица с той же главной
диагональю, что и матрица A, матрица A
1
— нижняя треугольная и мат-
рица A
2
— верхняя треугольная, обе с нулевыми главными диагоналями.
Используя «расщепление» (8.6), пе репишем систему Ax = f в виде
x = −D
−1
A
1
x − D
−1
A
2
x + D
−1
f .
Отсюда видно, что метод Якоби (8.2) представлен формулой
x
n+1
= −D
−1
A
1
x
n
− D
−1
A
2
x
n
+ D
−1
f ,
или, что то же самое, формулой
Dx
n+1
+ (A
1
+ A
2
)x
n
= f , (8.7)
а метод Зейделя (8.3) — формулой
x
n+1
= −D
−1
A
1
x
n+1
− D
−1
A
2
x
n
+ D
−1
f ,
или, что то же самое, формулой
(D + A
1
)x
n+1
+ A
2
x
n
= f . (8.8)
Учитывая (8.6), методы (8.7) и (8.8) запишем, соответственно, в виде
D(x
n+1
− x
n
) + Ax
n
= f , (8.9)
(D + A
1
)(x
n+1
− x
n
) + Ax
n
= f . (8.10)
Эта запись показывает, что если итерационный метод сходится, то он схо-
дится к решению исходной сист емы уравнений.
В методы (8.9) и (8.1 0 ) можно ввести итерационный параметр τ
n+1
сле-
дующим образом:
D
x
n+1
− x
n
τ
n+1
+ Ax
n
= f ,
144

Страницы