Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 142 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

8 Итерационные методы
методы алгоритмически более сложны, чем явные ИМ (в которых B = I);
однако их преимуществом является существе нно более быстрая сходимос т ь .
Скалярный параметр τ, как и лидирующую матрицу B, можно выбирать
на каждой итерации, т. е. поставить их в зависимость от текущего номера
итерации n. В этом случае стационарный ИМ становится нестационарным
итерационным мет одом.
Кроме методических погрешностей на результат итерационного про-
цесса влияют трансформированные погрешности алгоритма и погрешности
округления. Положительным качеством ИМ является то, что при их исполь-
зовании погрешности округления не накапливаются. Для запуска любого
ИМ необходимо за дава т ь начальное приближение к искомому решению.
8.2 Итерационная формула
ИМ могут применяться как для линейных задач, так и для нелинейных.
Основой построения любого ИМ являе т ся так называемая итерационная
формула (ИФ), т. е. формула вида x = ϕ(x). Если она есть, то ИМ записы-
вают в виде x
n+1
= ϕ(x
n
), где n = 0 , 1, . . . .
Построим ИФ для линейной системы
Ax = f
с обратимой (m × m)-матрицей A = [a
ij
], i, j = 1, 2, . . . , m, с неизвес т -
ным вектором x = (x
1
, x
2
, . . . , x
m
)
T
и с заданной правой частью f =
= (f
1
, f
2
, . . . , f
m
)
T
. Пусть ∀i ∈ {i, j = 1, 2, . . . , m}
a
ii
6= 0.
Преобразуем данную систему к виду
x
i
= −
i−1
X
j=2
a
ij
a
ii
x
j
−
m
X
j=i+1
a
ij
a
ii
x
j
+
f
i
a
ii
, i = 1, 2, . . . , m . (8.1)
Условимся считать значение суммы равным нулю, если верхний предел сум-
мирования меньше нижнего. Так, уравнение (8.1) при i = 1 имеет вид:
x
1
= −
m
X
j=2
a
1j
a
11
x
j
+
f
i
a
11
.
В дальнейшем верхний индекс будет указывать номер итерации, например,
x
n
= (x
n
1
, x
n
2
, . . . , x
n
m
)
T
,
142

Страницы