Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 141 стр.

UptoLike

Составители:

Рубрика:

Итерационные методы

Приведен справочный материал, необходимый в подразд. 8.12 для выпол-

нения лабораторного проекта по этой теме (подробнее см. [12]).

8.1 Итерационные методы

Любой итерационный метод (ИМ) есть метод последовательных прибли-

жений. Он изначально предполагает наличие методической погрешности

(ошибки метода) и этим отличается от прямых методов (ПМ), рассм о т рен-

ных выше, у которых методическая погрешность равна нулю. Сходящийся

ИМ, — а только такие ИМ и предста в ля ют интерес, — обеспечивает стрем-

ление этой погрешности к нулю по мере роста числа итераций, n → ∞.

ИМ позволяют находить решение с некоторой заранее задаваемой по-

грешностью и при специальных условиях делают это быстрее, чем ПМ. Они

запрашивают м еньше ресурс о в компьютера при ре шении больших систем.

Алгоритмически ИМ более просты, чем ПМ, и в меньшей степени исполь-

зуют структуру матрицы.

Главные вопрос ы для любого ИМ — сходится ли он? какие условия для

этого нужны? Однако для ИМ важно знать не только теоретический факт

и условия сходимости. Следующие в о просы — какова ско рость сходимо-

сти? как можно ее увеличить? Сходимость простых итерационных методов

крайне медленная, особенно, в случае плохо обусловленной матрицы, поэ-

тому эти вопросы крайне важны.

Есть два основных «регулятора» скорости ИМ: так называемая лидиру-

ющая матр ица B и скалярный параметр τ. Если B 6= I, метод называют

неявным ИМ, поскольку решение на новой итерации приходится искать тем

или иным прямым методом применительно в системе с этой м а т рицей B, обя-

занной быть более простой, чем исходная матрица A. В силу этого неявные