Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 148 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

8 Итерационные методы
Будем рассматривать реш ение x системы и последовательные приближе-
ния x
n
как элементы евклидова пространства, а матрицы A, B и другие —
как операторы, дейст вующие в нем.
Замечание 8.1. Для двух симметрических матриц A и B нера-
венство A ≥ B означает, что ( Ax, x) ≥ (Bx, x) для всех x ∈ E. В случае
некоторой симметрической положительно определенной матрицы D будем
пользоваться обобщенной нормой вектора kyk
D
=
p
(Dy, y) .
Теорема 8.3 ( [12]). Пусть A и B — с имметрические положительно
определенные матрицы, для которых справедливы нераве нства
γ
1
B ≤ A ≤ γ
2
B , (8.21)
где γ
1
, γ
2
— положительные константы и γ
1
< γ
2
. При τ = 2/(γ
1
+ γ
2
) ите-
рационный метод (8.20) сходится, и для погрешности справедливы оце нки:
kx
n
− xk
A
≤ ρ
n
kx
0
− xk
A
, n = 0, 1, . . . ,
kx
n
− xk
B
≤ ρ
n
kx
0
− xk
B
, n = 0, 1, . . . ,
где
ρ =
1 − ξ
1 + ξ
, ξ =
γ
1
γ
2
. (8.22)
Пусть
Aµ = λBµ . (8.23)
Тогда
γ
1
(Bµ, µ) ≤ (Aµ, µ) = λ(Bµ, µ) ≤ γ
2
(Bµ, µ)
и
γ
1
≤ λ
min
(B
−1
A) , γ
2
≥ λ
max
(B
−1
A) , (8.24)
где λ
min
(B
−1
A) и λ
max
(B
−1
A) — минимальное и максимальное по абсолют-
ному значению собстве нные числа в обобщенной задаче (8.23) на собствен-
ные значения.
Таким образом, наиболее точными константами, с которыми выполня-
ются неравенства (8.21), являются константы
γ
1
= λ
min
(B
−1
A) , γ
2
= λ
max
(B
−1
A) .
В эт о м случае параметр
τ =
2
λ
min
(B
−1
A) + λ
max
(B
−1
A)
(8.25)
148

Страницы