Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 155 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

8.11 Другие методы
Заменяя здесь k + 1 на k и подставляя полученное выражение для (p
k
, Ap
k
)
в последнее из соотношений (8.36), получим
β
k+1
= −α
k
(Ap
k
, r
k
)
(r
k−1
, r
k−1
)
.
Теперь подставим сюда вместо Ap
k
его выражение из (8.37).
Теорема 8.9 ( [12]). После k шагов метода сопряженных градиентов
невязки r
0
, r
1
, ..., r
k
взаимно ортогональны.
Принимая это во внимание, найдем
β
k+1
=
(r
k
, r
k
)
(r
k−1
, r
k−1
)
, k = 1, 2, . . . . (8.39)
С учетом (8.37)–(8.39) формулы метода сопряженных градиентов (8.36)
преобразуются к виду
r
k
= r
k−1
− α
k
Ap
k
, k = 1, 2, . . . , r
0
= b ,
p
k+1
= r
k
+ β
k+1
p
k
k = 1, 2, . . . , p
1
= r
0
,
x
k+1
= x
k
+ α
k+1
p
k+1
, k = 0, 1, . . . , x
0
= 0 ,
α
k+1
= kr
k
k
2
/(p
k+1
, Ap
k+1
) , k = 0, 1, . . . ,
β
k+1
= kr
k
k
2
/kr
k−1
k
2
, k = 1, 2, . . . .
(8.40)
Легко проверить, что эти вычисления проводят в следующем порядке:
r
0
= b , p
1
= r
0
, Ap
1
, α
1
, x
1
,
r
1
, β
2
, p
2
, Ap
2
, α
2
, x
2
, . . .
8.11 Другие методы
Область итерационных методов решения систем линейных алгебраиче-
ских уравнений о б ширна. Она включает гораздо большее количество мет о -
дов, чем т о , что приведено выше.
В итерационных методах нашли применение полиномы Чебышёва, бла-
годаря которым можно решать задачу оптимального выбора итерационных
параметров как для явных ИМ, так и для неявных ИМ [12].
Стационарные методы, широко применявшиеся в 1950–1980 годах, сейчас
чаще применяются [126] как средство сглаживания в многосеточных алго-
ритмах [102, 118, 144 ] или для предобусловливания в алгоритмах Крылова
[139].
155

Страницы