Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 156 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

8 Итерационные методы
Идея сопряженных градиентов [136] оказалась очень плодотворной, и наи-
более широкое воплощение она нашла при опоре на метод подпространств
Крылова, который является одним из методов решения проблемы собствен-
ных значений и собственных векторов для очень больш их разреженных
матриц [143]. Переход к мет оду подпространств Крылова в этой проблеме
вызван тем, что преоб разования подобия, лежащие в основе е е решения
для небольших матриц, выполнять для очень больших матриц практиче-
ски невозможно. В то же время достаточно легко в ыполнять однотипные
операции умножения матрицы на вектор: взять вектор x и затем, умножая
слева на A, построить последовательность Крылова x, Ax, A
2
x, A
3
x, . . . и,
соответственно, получить пространства Крылова
K
j
(A, x) = span
x, A x, A
2
x, A
3
x, . . . , A
j−1
x
.
В настоящее время алгоритмы Крылова с предобусловливанием применя-
ются в большинстве итерационных методов решения больших разреженных
линейных систем [126]. Успешной альтернативой методам Крылова явля-
ются многосеточные методы, по которым за после дние 30–40 лет появилось
огромное число публикаций [102, 118, 126, 144].
Вместе с этими мощными ветвями роста, в практике решения линей-
ных систем итерационными методами встречаются решения, которые могут
быть классифицированы как Inventive Math. Это решения, по которым пока
не найдено строгих доказательств, но которые подтверждают с в о ю рабо-
тоспособность методом широкого вычислительного эксперимента. Приме-
ром такого подхода является ме т од делинеаризации для линейных с истем
[140, 141, 142].
8.12 Задание на лабораторный проект № 7
Написать и отладить программ у, ре а лизующую ваш вариант задания в со -
ответствии с табл. 8.1 (см . ниже стр. 15 9 ), включающий два итерационных
метода для численного решения систем линейных алгебраических уравне-
ний Ax = f с квадратной м а т рицей A и отыс кания обратной матрицы A
−1
.
Предусмотреть сооб щение о невозможности решения указанных задач из-за
превышения допуст имого числа итераций. Отделить основные час ти про-
граммы:
а) подпрограмму решения систем линейных алгебраических уравнений;
б) подпрограмму обращения матриц;
156

Страницы