Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

2 Стандартные алгоритмы LU-разложения
Это второе действие удобно называть обновлением активной подсистемы
(активной подматрицы), т. е. той части системы уравнений (матрицы A),
где еще будут продолжаться подобного рода действия.
На втором шаге метода Гаусса описанный алго ритм повторяем для пере-
менной x
2
, т. е. берем систему (2.3), объявляем ведущим второе уравнение
(для этого нужно иметь a
(1)
22
6= 0) и нормируем в ней в т о рое уравнение.
Получаем ег о в виде
1 · x
2
+ a
(2)
23
x
3
+ . . . + a
(2)
2n
x
n
= f
(2)
2
(верхний индекс в скобках указывет номер шага, после кото рого полу-
чен текущий результат). После этого исключаем переменную x
2
из остав-
шихся n − 2 уравнений систе м ы (2.3). Таким образом, любой полный шаг
алгоритма метода Гаусса состоит из двух действий: сначала нормировка
ведущей строки матрицы, потом обновление (серия вычитаний) в активной
подматрице.
После n − 1 полных шаго в и n-го неполного шага (поскольку ниже n-го
ведушего уравнения больше нет уравнений) получим две системы линейных
алгебраических уравнений
Ly = f,
¯
Ux = y, (2.4)
эквивалентных исходной системе (2.1), где L — нижняя треугольная мат-
рица и
¯
U верхняя треугольная матрица, на диагонали которой стоят еди-
ницы
1
. При этом k-й столбец матрицы L (его нетривиальная, т. е. ненуле-
вая часть) з а поминает числа для двух действий на k-м шаге алгоритма, а
именно: элемент l
kk
является ведущим элементом, производившим норми-
ровку k-го уравнения, в то время как элементы l
ki
, i = k + 1, k + 2, . . . , n
являются теми ко эффициентами, на которые было умножено пронормиро-
ванное ведущее (k-е) уравнение, чтобы результатом после дующе го ег о вычи-
тания из нижележащих уравнений было исключение из них неизвестного x
k
.
Можно говорить, что роль матрицы L — сохранять «историю» нормировок
и вычитаний в процес се исключения неизвестных по методу Гаусса. Роль
матрицы
¯
U — иная. Матрица
¯
U представляе т собою тот эквивалентный вид
системы (2.1), который она приобретет по завершении этого процесса.
Определение 2.1. Определители ∆
i
подматриц, получаемых оставле-
нием первых i строк и первых i столбцов матрицы, наз ывают главными
минорами матрицы.
1
Здесь и далее черта над матрицей означает, что на главной диагонали стоят строгие единицы.
28

Страницы