Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

2.1 Алгоритмы метода Гаусса
Теорема 2.1. Если все главные миноры матрицы A в системе (2.1)
отличны от нуля, то процесс Гаусса исключения неиз в естных, протекающий
в прямом направлении, — начиная от первого неизвестного x
1
и от первого
уравнения системы, — эквивалентен разложению A = L
¯
U, которое суще-
ствует и единственно с нижней треугольной невырожденной матрицей L и
верхней треугольной матрицей
¯
U с единичной диагональю.
Доказательство. Докажите самостоятельно индукцией по размеру n
матрицы [12]. 2
После разложения вводят правую часть f данной системы (2.1) и находят
вектор y решения называется прямой подстановкой:
y
i
=
f
i
−
i−1
X
j=1
l
ij
y
j
!
l
−1
ii
, i = 1, 2, . . . , n.
Далее вторая система из (2.4) так же легко решается процедурой обратной
подстановки:
x
i
= y
i
−
n
X
j=i+1
u
ij
x
j
, i = n − 1, . . . , 1, x
n
= y
n
.
Замечание 2.1. Пересчет элементов вектора f должен быть от-
ложен, т. е. сначала пересче т коэффициентов матрицы A должен привес т и
к разложению матрицы A в произведение матриц L и
¯
U и только затем
должна быть введена и соответственно обработана правая часть — вектор
f. При этом вектор y замещает f и затем x замещает y, — экономия памяти.
Алгоритм L
¯
U-разложения матрицы A запишем следующим образ о м :
Для k = 1 до n
Нормируем первую строку матрицы A
(k−1)
.
Для i = k + 1 до n
Вычита ем первую строку матрицы A
(k−1)
,
умноженную на a
(k−1)
ik
, из i-й строки.
Здесь A
(k−1)
означает активную подматрицу м а т рицы A пос ле (k − 1)-г o
шага метода Гаусса, k = 1, 2, . . . , n, причем A
(0)
= A.
Алгоритм
¯
LU-разложения матрицы A отличается только нормировкой
элементов активной подматрицы:
29

Страницы